有一半径为a，流过稳恒电流为I的frac (1) (4)圆弧形载流导线bc，按图示方式置于均匀外磁场B中，则该载流导线所受的安培力大小为( )A.2BIaB.sqrt (2)BIaC.frac (pi ) (2)BIaD.BIa

考查要点：本题主要考查弯曲载流导线在均匀磁场中所受安培力的计算，需结合矢量积分和磁场方向的分析。

解题核心思路：

1. 明确磁场方向：题目未明确说明磁场方向，但根据选项推断，磁场方向应与导线所在平面平行，且沿某一特定方向（如沿x轴）。
2. 参数化导线：将四分之一圆弧用极角参数化，计算微小电流元的受力。
3. 积分求总力：通过积分所有微小电流元的受力矢量，最终得到总安培力大小。

破题关键点：

• 磁场方向的合理假设是解题突破口，直接影响积分结果。
• 正确应用矢量叉乘公式，确定每个微小电流元的受力方向与大小。

假设磁场方向沿x轴正方向，四分之一圆弧导线位于xy平面，圆心在原点，从点$(a,0)$到点$(0,a)$，电流方向为顺时针。

1. 参数化导线：
   圆弧上任意点的位置可表示为$(a\cos\theta, a\sin\theta, 0)$，其中$\theta$从$0$到$\frac{\pi}{2}$。
   微小电流元$\text{d}\vec{l}$沿切线方向，其方向为$(-\sin\theta, \cos\theta, 0)$，大小为$a\text{d}\theta$。

2. 计算微小受力：
   磁场$\vec{B} = B\hat{i}$，微小电流元的受力为：
   $\text{d}\vec{F} = I (\text{d}\vec{l} \times \vec{B}) = I \cdot a\text{d}\theta \cdot (-\sin\theta, \cos\theta, 0) \times (B, 0, 0)$
   根据叉乘公式，结果为：
   $\text{d}\vec{F} = -I a B \cos\theta \, \text{d}\theta \, \hat{k}$
   受力方向沿z轴负方向，大小为$I a B \cos\theta \, \text{d}\theta$。

3. 积分求总力：
   对$\theta$从$0$到$\frac{\pi}{2}$积分：
   $F = \int \text{d}F = I a B \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \, \text{d}\theta = I a B \left[ \sin\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = I a B$
   最终安培力大小为$BIa$。