4.填空题7、当λ=____时，矩阵A=(}1&1&lambda^2&-21&-2&lambda&1-2&1&-2&lambda)的秩最小.
题目解答
答案
对矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda^2 & -2 \\ 1 & -2 & \lambda & 1 \\ -2 & 1 & -2 & \lambda \end{pmatrix} $，通过初等行变换化简。
- 第二行减去第一行：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda^2 & -2 \\ 0 & -3 & \lambda - \lambda^2 & 3 \\ -2 & 1 & -2 & \lambda \end{pmatrix}$ - 第三行加上两倍的第一行：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda^2 & -2 \\ 0 & -3 & \lambda - \lambda^2 & 3 \\ 0 & 3 & -2 + 2\lambda^2 & \lambda - 4 \end{pmatrix}$ - 第三行加上第一行的两倍后，再加第二行：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda^2 & -2 \\ 0 & -3 & \lambda - \lambda^2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 + \lambda^2 & \lambda - 1 \end{pmatrix}$
矩阵的秩至少为2。要使秩最小（即为2），需满足 $-2 + \lambda^2 = 0$ 且 $\lambda - 1 = 0$。
解得 $\lambda = 1$。
答案： $\lambda = 1$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的秩及其求解方法，需要通过初等行变换将矩阵化为阶梯形，分析非零行的数量，进而确定参数λ的值使得矩阵的秩最小。
解题核心思路：
- 矩阵秩的定义：矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数，即行阶梯形矩阵中非零行的数量。
- 初等行变换：通过行变换将矩阵化为阶梯形，观察非零行的数量。
- 关键条件：要使秩最小，需使行阶梯形矩阵中尽可能多的行变为零行。特别地，当第三行全为零时，秩为2，此时需满足第三行的元素均为零的条件。
破题关键点：
- 对矩阵进行行变换，将第三行化简为含λ的表达式。
- 令第三行的非零元素均为零，解方程组确定λ的值。
对矩阵 $A$ 进行初等行变换：
-
第二行减去第一行：
$R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda^2 & -2 \\ 0 & -3 & \lambda - \lambda^2 & 3 \\ -2 & 1 & -2 & \lambda \end{pmatrix}$ -
第三行加上两倍的第一行：
$R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda^2 & -2 \\ 0 & -3 & \lambda - \lambda^2 & 3 \\ 0 & 3 & -2 + 2\lambda^2 & \lambda - 4 \end{pmatrix}$ -
第三行加上第二行：
$R_3 \leftarrow R_3 + R_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda^2 & -2 \\ 0 & -3 & \lambda - \lambda^2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 + \lambda^2 & \lambda - 1 \end{pmatrix}$
此时矩阵的秩至少为2。要使秩最小（即为2），需满足第三行全为零：
$\begin{cases} -2 + \lambda^2 = 0 \\ \lambda - 1 = 0 \end{cases}$
解得 $\lambda = 1$。