题目
10.（判断题，2.0分） 若向量X_(1),X_(2),X_(3)线性无关，则X_(1)+X_(2)+X_(3)neq 0。 A 对 B 错
10.（判断题，2.0分） 若向量$X_{1},X_{2},X_{3}$线性无关，则$X_{1}+X_{2}+X_{3}\neq 0$。 A 对 B 错
题目解答
答案
向量组 $X_1, X_2, X_3$ 线性无关，意味着方程 $k_1X_1 + k_2X_2 + k_3X_3 = 0$ 的唯一解为 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$。若 $X_1 + X_2 + X_3 = 0$，则存在非零解 $k_1 = k_2 = k_3 = 1$，与线性无关条件矛盾。因此，$X_1 + X_2 + X_3 \neq 0$。 答案：$\boxed{A}$
解析
本题考查向量组线性无关的定义及应用。解题的关键在于理解向量组线性无关的概念，并通过反证法来判断命题的正确性。
- 首先明确向量组线性无关的定义：对于向量组$X_{1},X_{2},X_{3}$，若方程$k_1X_1 + k_2X_2 + k_3X_3 = 0$只有当$k_1 = k_2 = k_3 = 0$时成立，则称向量组$X_{1},X_{2},X_{3}$线性无关。
- 然后采用反证法，假设$X_{1}+X_{2}+X_{3} = 0$。
- 此时可以将$X_{1}+X_{2}+X_{3} = 0$变形为$1\times X_1 + 1\times X_2 + 1\times X_3 = 0$，这里$k_1 = 1$，$k_2 = 1$，$k_3 = 1$，这是一组非零解。
- 但根据向量组线性无关的定义，方程$k_1X_1 + k_2X_2 + k_3X_3 = 0$只能有零解$k_1 = k_2 = k_3 = 0$，所以假设不成立，即$X_{1}+X_{2}+X_{3} \neq 0$。