设随机变量 X 的概率密度函数为 f_X(x), 则 Y = -2X + 3 的密度函数为（）A. (1)/(2) f_X(-(y-3)/(2))B. (1)/(2) f_X(-(y+3)/(2))C. -(1)/(2) f_X(-(y-3)/(2))D. -(1)/(2) f_X(-(y+3)/(2))

本题考查随机变量函数的概率密度函数的求解，解题思路是先求出$Y = -2X + 3$的分布函数$F_Y(y)$，再对分布函数求导得到概率密度函数$f_Y(y)$。

步骤一：求$Y$的分布函数$F_Y(y)$

分布函数的定义为$F_Y(y)=P(Y\leq y)$，已知$Y = -2X + 3$，则$F_Y(y)=P(-2X + 3\leq y)$。
对不等式$-2X + 3\leq y$进行求解：
$\begin{align*}-2X + 3&\leq y\\-2X&\leq y - 3\\X&\geq -\frac{y - 3}{2}\end{align*}$
所以$F_Y(y)=P(X\geq -\frac{y - 3}{2})$。
根据概率的性质$P(X\geq a)=1 - P(X\lt a)$，可得$F_Y(y)=1 - P(X\lt -\frac{y - 3}{2})$。
又因为$X$的分布函数$F_X(x)=P(X\lt x)$，所以$F_Y(y)=1 - F_X(-\frac{y - 3}{2})$。

步骤二：求$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$

根据概率密度函数与分布函数的关系$f_Y(y)=F_Y^\prime(y)$，对$F_Y(y)=1 - F_X(-\frac{y - 3}{2})$求导。
根据求导公式$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，常数的导数为$0$，可得$F_Y^\prime(y)=(1)^\prime - [F_X(-\frac{y - 3}{2})]^\prime$，即$f_Y(y)=0 - [F_X(-\frac{y - 3}{2})]^\prime$。
令$u = -\frac{y - 3}{2}$，根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，可得$[F_X(-\frac{y - 3}{2})]^\prime=F_X^\prime(u)\cdot u^\prime$。
因为$F_X^\prime(x)=f_X(x)$，所以$F_X^\prime(u)=f_X(u)=f_X(-\frac{y - 3}{2})$。
对$u = -\frac{y - 3}{2}$求导，可得$u^\prime=(-\frac{y - 3}{2})^\prime=-\frac{1}{2}$。
则$[F_X(-\frac{y - 3}{2})]^\prime=f_X(-\frac{y - 3}{2})\cdot(-\frac{1}{2})$。
所以$f_Y(y)=0 - f_X(-\frac{y - 3}{2})\cdot(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2} f_X(-\frac{y - 3}{2})$。