题目

6.求积分int_(0)^2pi a(2z^2+8z+1)dz之值，其中积分路径是连接0到2πa的摆线：x=a(theta-sintheta),y=a(1-costheta).

6.求积分$\int_{0}^{2\pi a}(2z^{2}+8z+1)dz$之值，其中积分路径是连接0到2πa的摆线： $x=a(\theta-\sin\theta)$,$y=a(1-\cos\theta)$.

题目解答

答案

将摆线参数化为 $z = a(\theta - \sin\theta) + ia(1 - \cos\theta)$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
计算 $dz = a[(1 - \cos\theta) + i\sin\theta]d\theta$。
被积函数 $2z^2 + 8z + 1$ 在复平面上解析，积分值仅取决于端点。
直接计算原函数在端点的值：
$\int_{0}^{2\pi a} (2z^2 + 8z + 1) dz = \left[ \frac{2}{3}z^3 + 4z^2 + z \right]_{0}^{2\pi a} = \frac{16}{3}\pi^3 a^3 + 16\pi^2 a^2 + 2\pi a$

答案：
$\boxed{\frac{16}{3}\pi^3 a^3 + 16\pi^2 a^2 + 2\pi a}$

解析

本题考查复变函数积分的计算，解题的关键思路是利用柯西 - 古萨基本定理的推论。该推论表明，如果函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，那么 $f(z)$ 沿 $D$ 内任意一条从点 $z_1$ 到点 $z_2$ 的分段光滑曲线 $C$ 的积分值只与起点 $z_1$ 和终点 $z_2$ 有关，而与积分路径 $C$ 的形状无关。此时，积分可以通过牛顿 - 莱布尼茨公式来计算，即 $\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz = F(z_2)-F(z_1)$，其中 $F(z)$ 是 $f(z)$ 的一个原函数。

下面我们来详细计算本题：

  1. 首先，判断被积函数的解析性：
    • 被积函数 $f(z)=2z^{2}+8z + 1$ 是一个多项式函数。在复变函数中，多项式函数在整个复平面上都是解析的。
  2. 然后，求被积函数的原函数：
    • 根据求导公式的逆运算，对于幂函数 $z^n$ 的积分公式为 $\int z^n dz=\frac{1}{n + 1}z^{n+1}+C$（$n\neq - 1$）。
    • 对 $f(z)=2z^{2}+8z + 1$ 求原函数 $F(z)$：
      • $\int(2z^{2}+8z + 1)dz=\int 2z^{2}dz+\int 8zdz+\int 1dz$。
      • 分别计算各项积分：
        • $\int 2z^{2}dz=2\times\frac{1}{3}z^{3}=\frac{2}{3}z^{3}$；
        • $\int 8zdz=8\times\frac{1}{2}z^{2}=4z^{2}$；
        • $\int 1dz=z$。
      • 所以原函数 $F(z)=\frac{2}{3}z^{3}+4z^{2}+z$。
  3. 最后，根据牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分：
    • 已知积分下限 $z_1 = 0$，积分上限 $z_2=2\pi a$。
    • 由 $\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz = F(z_2)-F(z_1)$，可得：
      • $\int_{0}^{2\pi a}(2z^{2}+8z + 1)dz=\left[\frac{2}{3}z^{3}+4z^{2}+z\right]_{0}^{2\pi a}$。
      • 将 $z = 2\pi a$ 和 $z = 0$ 代入原函数：
        • $F(2\pi a)=\frac{2}{3}(2\pi a)^{3}+4(2\pi a)^{2}+2\pi a$。
        • 根据幂的运算法则 $(ab)^n=a^n b^n$，则 $(2\pi a)^{3}=2^3\pi^3a^3 = 8\pi^3a^3$，$(2\pi a)^{2}=2^2\pi^2a^2 = 4\pi^2a^2$。
        • 所以 $F(2\pi a)=\frac{2}{3}\times8\pi^3a^3+4\times4\pi^2a^2+2\pi a=\frac{16}{3}\pi^3a^3 + 16\pi^2a^2+2\pi a$。
        • $F(0)=\frac{2}{3}\times0^{3}+4\times0^{2}+0 = 0$。
      • 则 $\int_{0}^{2\pi a}(2z^{2}+8z + 1)dz=\frac{16}{3}\pi^3a^3 + 16\pi^2a^2+2\pi a-0=\frac{16}{3}\pi^3a^3 + 16\pi^2a^2+2\pi a$。