若'+y(ln x-ln y)=0,且'+y(ln x-ln y)=0,则该方程通解中的常数C=

考查要点：本题主要考查一阶微分方程的解法，特别是齐次方程的变量替换法以及可分离变量方程的积分技巧。需要学生掌握通过变量替换将方程转化为可分离变量的形式，并正确进行积分求解，最后利用初始条件确定常数。

解题核心思路：

1. 识别方程类型：观察方程结构，发现可通过变量替换$\dfrac{y}{x}=u$将原方程转化为关于$u$和$x$的可分离变量方程。
2. 变量替换与方程变形：通过替换简化方程，分离变量后分别对$u$和$x$积分。
3. 积分与化简：利用换元积分法处理复杂积分，注意积分常数的处理。
4. 应用初始条件：代入初始条件$y(1)=e^3$确定通解中的常数$C$。

破题关键点：

• 正确选择变量替换，将原方程转化为可分离变量的形式。
• 准确处理对数函数的积分，注意换元法的灵活应用。
• 初始条件代入时，注意指数方程的解法。

步骤1：方程变形与变量替换
原方程$xy' + y(\ln x - \ln y) = 0$可改写为：
$y' = -\dfrac{y}{x} \ln \dfrac{x}{y} = -\dfrac{y}{x} \ln \dfrac{1}{u} \quad \text{（令$u = \dfrac{y}{x}$）}$
进一步化简得：
$y' = -\dfrac{y}{x} (-\ln u) = \dfrac{y}{x} \ln u$

步骤2：变量替换与方程转化
令$y = ux$，则$\dfrac{dy}{dx} = x \dfrac{du}{dx} + u$。代入原方程得：
$x \dfrac{du}{dx} + u = u \ln u$
整理得：
$x \dfrac{du}{dx} = u (\ln u - 1)$

步骤3：分离变量与积分
分离变量后得：
$\dfrac{1}{u (\ln u - 1)} du = \dfrac{1}{x} dx$
对左边积分，令$t = \ln u - 1$，则$dt = \dfrac{1}{u} du$，积分结果为：
$\int \dfrac{1}{t} dt = \ln |t| + C = \ln |\ln u - 1| + C$
右边积分结果为$\ln |x| + C$。联立得：
$\ln |\ln u - 1| = \ln |x| + C$

步骤4：化简与回代变量
取指数消去对数得：
$|\ln u - 1| = Cx \quad \Rightarrow \quad \ln u - 1 = Cx$
回代$u = \dfrac{y}{x}$，整理得通解：
$y = x e^{Cx + 1}$

步骤5：应用初始条件
将$x=1$，$y=e^3$代入通解：
$e^3 = 1 \cdot e^{C \cdot 1 + 1} \quad \Rightarrow \quad C + 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad C = 2$