3-30 如图所示,天文观测台有一半径为R的半球形屋面,有一冰块从光滑屋面的最-|||-高点由静止沿屋面滑下,若摩擦力略去不计,求此冰块离开屋面的位置以及在该位置时的-|||-速度.

步骤 1：确定冰块离开屋面的条件
冰块离开屋面的条件是冰块与屋面之间的法向力为零。当冰块沿屋面滑下时，它受到重力和法向力的作用。当法向力为零时，冰块将离开屋面。

步骤 2：应用机械能守恒定律
冰块从最高点滑下，由于摩擦力忽略不计，机械能守恒。设冰块离开屋面时的速度为$v$，离开屋面时与竖直方向的夹角为$\theta$。根据机械能守恒定律，有：
$$
mgR = \frac{1}{2}mv^2 + mgR\cos\theta
$$
其中，$mgR$是冰块在最高点的重力势能，$\frac{1}{2}mv^2$是冰块离开屋面时的动能，$mgR\cos\theta$是冰块离开屋面时的重力势能。

步骤 3：应用牛顿第二定律
冰块离开屋面时，法向力为零，重力沿法线方向的分量提供向心力。根据牛顿第二定律，有：
$$
mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R}
$$
其中，$mg\cos\theta$是重力沿法线方向的分量，$\frac{mv^2}{R}$是冰块离开屋面时的向心力。

步骤 4：联立求解
联立步骤 2 和步骤 3 的方程，可以求解出冰块离开屋面时的速度$v$和离开屋面时与竖直方向的夹角$\theta$。
$$
mgR = \frac{1}{2}mv^2 + mgR\cos\theta
$$
$$
mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R}
$$
解得：
$$
v = \sqrt{\frac{2Rg}{3}}
$$
$$
\theta = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) \approx 48.2^\circ
$$