(1999年)为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底.抓起污泥后提出井口,已知井深30m,抓斗自重400 N,缆绳每米重50 N,抓斗抓起的污泥重2000N.提升速度为3 m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①l N×1 m=1 J;m,N,s,J分别表示米、牛顿、秒、焦耳;②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)

本题考查一元函数积分学在物理做功问题中的应用。解题的关键思路是将整个提升过程中克服重力做功分解为克服抓斗自重做功、克服缆绳重量做功和提出污泥做功这三部分，然后分别计算每一部分的功，最后将它们相加得到总功。

1. 计算克服抓斗自重做的功 $W_1$

抓斗自重为 $400N$，井深 $30m$，根据功的计算公式 $W = F\times s$（其中 $F$ 是力，$s$ 是在力的方向上移动的距离），可得：
$W_1 = 400\times30 = 12000J$

2. 计算克服缆绳重量做的功 $W_2$

设抓斗提升的高度为 $x$（$0\leq x\leq30$），此时缆绳的长度为 $30 - x$，缆绳每米重 $50N$，则在提升过程中，克服缆绳重量的力为 $50(30 - x)$。
当抓斗提升微小高度 $dx$ 时，克服缆绳重量做的微功为 $dW_2 = 50(30 - x)dx$。
对 $dW_2$ 在区间 $[0, 30]$ 上进行积分，可得：
$\begin{align*}W_2&=\int_{0}^{30}50(30 - x)dx\\&=50\int_{0}^{30}(30 - x)dx\\&=50\left(30x - \frac{1}{2}x^2\right)\big|_{0}^{30}\\&=50\times\left(30\times30 - \frac{1}{2}\times30^2\right)\\&=50\times\left(900 - 450\right)\\&=50\times450\\&= 22500J\end{align*}$

3. 计算提出污泥做的功 $W_3$

已知提升速度为 $3m/s$，则将污泥从井底提升到井口所需时间 $t=\frac{30}{3}=10s$。
在时间间隔 $[t, t + dt]$ 内，污泥的重量为 $2000 - 20t$，提升的高度为 $3dt$，则在该时间间隔内提升污泥做的微功为 $dW_3 = 3(2000 - 20t)dt$。
对 $dW_3$ 在区间 $[0, 10]$ 上进行积分，可得：
$\begin{align*}W_3&=\int_{0}^{10}3(2000 - 20t)dt\\&=3\int_{0}^{10}(2000 - 20t)dt\\&=3\left(2000t - 10t^2\right)\big|_{0}^{10}\\&=3\times\left(2000\times10 - 10\times10^2\right)\\&=3\times\left(20000 - 1000\right)\\&=3\times19000\\&= 57000J\end{align*}$

4. 计算总功 $W$

将 $W_1$、$W_2$ 和 $W_3$ 相加，可得总功为：
$W = W_1 + W_2 + W_3 = 12000 + 22500 + 57000 = 91500J$