题目
设二维随机变量(xi,eta)的联合密度函数是varphi(x,y)，则关于xi的边缘分布密度varphi_1(x)=()。A. 2int_(-infty)^0 varphi(x,y)dyB. varphi(x,+infty)C. int_(-infty)^x varphi(x,y)dyD. int_(-infty)^+infty varphi(x,y)dy
设二维随机变量$(\xi,\eta)$的联合密度函数是$\varphi(x,y)$，则关于$\xi$的边缘分布密度$\varphi_1(x)=$()。
A. $2\int_{-\infty}^{0} \varphi(x,y)dy$
B. $\varphi(x,+\infty)$
C. $\int_{-\infty}^{x} \varphi(x,y)dy$
D. $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x,y)dy$
题目解答
答案
D. $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x,y)dy$
解析
步骤 1：理解边缘分布密度的定义
边缘分布密度$\varphi_1(x)$表示在任何$y$值下$\xi$取值为$x$的概率密度。为了得到$\xi$的边缘密度，我们需要考虑所有可能的$y$值，即从$-\infty$到$+\infty$。
步骤 2：分析选项
A. $2 \int_{-\infty}^{0} \varphi(x, y) \, dy$：这个选项不正确，因为它只对$y$从$-\infty$到$0$进行积分，然后乘以2。这并没有覆盖$y$的所有可能值。
B. $\varphi(x, +\infty)$：这个选项不正确，因为联合密度函数$\varphi(x, y)$在单一点$y = +\infty$的值并不给出$\xi$的边缘密度。
C. $\int_{-\infty}^{x} \varphi(x, y) \, dy$：这个选项不正确，因为它对$y$从$-\infty$到$x$进行积分。这并没有覆盖$y$的所有可能值。
D. $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x, y) \, dy$：这个选项是正确的，因为它对$y$从$-\infty$到$+\infty$进行积分，这覆盖了$y$的所有可能值。
步骤 3：选择正确答案
根据以上分析，正确答案是D选项，即$\varphi_1(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x, y) \, dy$。
边缘分布密度$\varphi_1(x)$表示在任何$y$值下$\xi$取值为$x$的概率密度。为了得到$\xi$的边缘密度，我们需要考虑所有可能的$y$值，即从$-\infty$到$+\infty$。
步骤 2：分析选项
A. $2 \int_{-\infty}^{0} \varphi(x, y) \, dy$：这个选项不正确，因为它只对$y$从$-\infty$到$0$进行积分，然后乘以2。这并没有覆盖$y$的所有可能值。
B. $\varphi(x, +\infty)$：这个选项不正确，因为联合密度函数$\varphi(x, y)$在单一点$y = +\infty$的值并不给出$\xi$的边缘密度。
C. $\int_{-\infty}^{x} \varphi(x, y) \, dy$：这个选项不正确，因为它对$y$从$-\infty$到$x$进行积分。这并没有覆盖$y$的所有可能值。
D. $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x, y) \, dy$：这个选项是正确的，因为它对$y$从$-\infty$到$+\infty$进行积分，这覆盖了$y$的所有可能值。
步骤 3：选择正确答案
根据以上分析，正确答案是D选项，即$\varphi_1(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x, y) \, dy$。