1.20 已知随机变量X的概率密度为f_(X)(x)，令Y=-2X，则Y的概率密度f_(Y)(y)为（）A. 2fX(-2y)B. fX(-(y)/(2))C. -(1)/(2)f_(X)(-(y)/(2))D. (1)/(2)f_(X)(-(y)/(2))

考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度变换，涉及变量变换法或分布函数法的应用，重点在于正确处理变量替换后的导数绝对值。

解题核心思路：

1. 确定变量关系：由 $Y = -2X$ 得 $X = -\frac{Y}{2}$，建立 $X$ 与 $Y$ 的对应关系。
2. 应用概率密度变换公式：利用公式 $f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right|$，其中 $g^{-1}(y) = -\frac{y}{2}$，计算导数并取绝对值。
3. 符号处理：注意变量替换时的不等式方向变化（如分布函数法中），但最终概率密度为非负值，需确保结果正确。

破题关键点：

• 导数绝对值：变量变换后的导数绝对值是 $\frac{1}{2}$，而非直接取负号。
• 函数代入：将 $X$ 表示为 $Y$ 的函数后代入原概率密度，注意符号和缩放比例。

变量变换法推导

1. 建立变量关系
   由 $Y = -2X$，解得 $X = -\frac{Y}{2}$，即 $g^{-1}(y) = -\frac{y}{2}$。

2. 计算导数绝对值
   $\left| \frac{d}{dy} \left( -\frac{y}{2} \right) \right| = \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$

3. 代入变换公式
   $f_Y(y) = f_X\left( -\frac{y}{2} \right) \cdot \frac{1}{2}$

分布函数法验证

1. 定义分布函数
   $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(-2X \leq y) = P\left( X \geq -\frac{y}{2} \right)$

2. 转化为 $X$ 的分布函数
   $F_Y(y) = 1 - F_X\left( -\frac{y}{2} \right)$

3. 对 $y$ 求导
   $f_Y(y) = \frac{d}{dy} \left[ 1 - F_X\left( -\frac{y}{2} \right) \right] = \frac{1}{2} f_X\left( -\frac{y}{2} \right)$

结论：两种方法均得 $f_Y(y) = \frac{1}{2} f_X\left( -\frac{y}{2} \right)$，对应选项 D。