15.函数f(z)=(1)/(z)在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为洛朗级数为____.

为了将函数 $f(z) = \frac{1}{z}$ 在圆环域 $1 < |z-1| < +\infty$ 内展开为洛朗级数，我们可以使用代数操作和几何级数展开的技巧。下面是一个逐步的解答过程： 1. 重写函数: 首先，将 $f(z) = \frac{1}{z}$ 重写为以 $z-1$ 为中心的形式。注意到 $z = (z-1) + 1$，所以 $f(z) = \frac{1}{z} = \frac{1}{(z-1) + 1}.$ 2. 提取公因子: 在圆环域 $1 < |z-1| < +\infty$ 内， $|z-1| > 1$，因此 $\left| \frac{1}{z-1} \right| < 1$。我们可以将分母中的 $z-1$ 提取出来，得到 $f(z) = \frac{1}{(z-1) + 1} = \frac{1}{z-1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{z-1}}.$ 3. 使用几何级数展开: 现在，我们可以使用几何级数 $\frac{1}{1 + x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$（对于 $|x| < 1$ 成立）来展开 $\frac{1}{1 + \frac{1}{z-1}}$。这里 $x = \frac{1}{z-1}$，所以 $\frac{1}{1 + \frac{1}{z-1}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{1}{z-1} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(z-1)^n}.$ 4. 组合结果: 将这个级数与 $\frac{1}{z-1}$ 相乘，得到 $f(z) = \frac{1}{z-1} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(z-1)^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(z-1)^{n+1}}.$ 5. 重写级数: 为了使级数的形式更标准，我们可以将求和指标 $n$ 替换为 $n+1$。令 $m = n+1$，则 $n = m-1$，级数变为 $f(z) = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{(z-1)^m}.$ 6. 最终答案: 将求和指标 $m$ 换回 $n$，得到函数 $f(z) = \frac{1}{z}$ 在圆环域 $1 < |z-1| < +\infty$ 内的洛朗级数为 $\boxed{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^n}}.$