题目
下列不定积分中正确的是 ( )(A)int dfrac (1)(sqrt [3]{5-3x)}dx=-dfrac (1)(3)((5-3x))^dfrac (2{3)}+C(B)int dfrac (1)(sqrt [3]{5-3x)}dx=-dfrac (1)(3)((5-3x))^dfrac (2{3)}+C(C)int dfrac (1)(sqrt [3]{5-3x)}dx=-dfrac (1)(3)((5-3x))^dfrac (2{3)}+C(D)int dfrac (1)(sqrt [3]{5-3x)}dx=-dfrac (1)(3)((5-3x))^dfrac (2{3)}+C
下列不定积分中正确的是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
题目解答
答案
(A)令
,
,则
。原式
(C为任意常数)，所以A错误
（B） (C为任意常数)， 所以B正确
（C）令
。原式
(C为任意常数)，所以C错误
(D)令
原式
(C为任意常数)，所以D错误
故答案选B
解析
步骤 1：分析选项 (A)
令 $5-3x=t$，则 $dx=-\dfrac{1}{3}dt$。原式变为 $\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{t}}(-\dfrac{1}{3})dt=-\dfrac{1}{3}\int t^{-\frac{1}{3}}dt=-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}+C=-\dfrac{1}{2}t^{\frac{2}{3}}+C=-\dfrac{1}{2}(5-3x)^{\frac{2}{3}}+C$。因此，选项 (A) 错误。
步骤 2：分析选项 (B)
直接积分 ${e}^{3t}dt$，得到 $\dfrac{1}{3}{e}^{3t}+C$。因此，选项 (B) 正确。
步骤 3：分析选项 (C)
令 $3-5x=t$，则 $dx=-\dfrac{1}{5}dt$。原式变为 $\int t^3(-\dfrac{1}{5})dt=-\dfrac{1}{5}\int t^3dt=-\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{4}t^4+C=-\dfrac{1}{20}t^4+C=-\dfrac{1}{20}(3-5x)^4+C$。因此，选项 (C) 错误。
步骤 4：分析选项 (D)
令 $3-2x=t$，则 $dx=-\dfrac{1}{2}dt$。原式变为 $\int \dfrac{1}{t}(-\dfrac{1}{2})dt=-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{t}dt=-\dfrac{1}{2}\ln|t|+C=-\dfrac{1}{2}\ln|3-2x|+C$。因此，选项 (D) 错误。
令 $5-3x=t$，则 $dx=-\dfrac{1}{3}dt$。原式变为 $\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{t}}(-\dfrac{1}{3})dt=-\dfrac{1}{3}\int t^{-\frac{1}{3}}dt=-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}+C=-\dfrac{1}{2}t^{\frac{2}{3}}+C=-\dfrac{1}{2}(5-3x)^{\frac{2}{3}}+C$。因此，选项 (A) 错误。
步骤 2：分析选项 (B)
直接积分 ${e}^{3t}dt$，得到 $\dfrac{1}{3}{e}^{3t}+C$。因此，选项 (B) 正确。
步骤 3：分析选项 (C)
令 $3-5x=t$，则 $dx=-\dfrac{1}{5}dt$。原式变为 $\int t^3(-\dfrac{1}{5})dt=-\dfrac{1}{5}\int t^3dt=-\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{4}t^4+C=-\dfrac{1}{20}t^4+C=-\dfrac{1}{20}(3-5x)^4+C$。因此，选项 (C) 错误。
步骤 4：分析选项 (D)
令 $3-2x=t$，则 $dx=-\dfrac{1}{2}dt$。原式变为 $\int \dfrac{1}{t}(-\dfrac{1}{2})dt=-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{t}dt=-\dfrac{1}{2}\ln|t|+C=-\dfrac{1}{2}\ln|3-2x|+C$。因此，选项 (D) 错误。