题目
设二维随机变量（X，Y）具有概率密度f（x，y）=2e−(2x+y)，x＞0，y＞00，其它.（1）求分布函数F（x，y）；（2）求概率P(Y≤X)． .
设二维随机变量（X，Y）具有概率密度f（x，y）=2e−(2x+y)，x＞0，y＞00，其它.
（1）求分布函数F（x，y）；
（2）求概率P{Y≤X}．
题目解答
答案
（1）F(x，y)＝
f(x，y)dxdy=
，
即有
F(x，y)＝
．
（2）将（X，Y）看作是平面上随机点的坐标，即有{Y≤X}={（X，Y）∈G}，
其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分，于是
P{Y≤X}=P{（x，y）∈G}=
f(x，y)dxdy=
2e−(2x+y)dxdy
=
dy
2e−(2x+y)dx=
e−y[−e−2x]|_+∞dy
=
e−3ydy＝
．
| ∫ | y −∞ |
| ∫ | x −∞ |
|
即有
F(x，y)＝
|
（2）将（X，Y）看作是平面上随机点的坐标，即有{Y≤X}={（X，Y）∈G}，
其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分，于是
P{Y≤X}=P{（x，y）∈G}=
| ∫∫ |
| G |
| ∫ | +∞ 0 |
| ∫ | +∞ y |
=
| ∫ | +∞ −∞ |
| ∫ | +∞ y |
| ∫ | +∞ −∞ |
=
| ∫ | +∞ −∞ |
| 1 |
| 3 |
解析
步骤 1：求分布函数F(x, y)
根据概率密度函数f(x, y)的定义，分布函数F(x, y)是f(x, y)在x和y的积分。对于给定的f(x, y) = 2e^(-(2x+y))，x > 0, y > 0，分布函数F(x, y)为：
F(x, y) = ∫∫f(x, y)dxdy = ∫∫2e^(-(2x+y))dxdy
其中积分区域为x > 0, y > 0。因此，分布函数F(x, y)为：
F(x, y) = ∫_0^y ∫_0^x 2e^(-(2x+y))dxdy
步骤 2：计算分布函数F(x, y)
计算分布函数F(x, y)的积分：
F(x, y) = ∫_0^y ∫_0^x 2e^(-(2x+y))dxdy
= ∫_0^y [∫_0^x 2e^(-(2x+y))dx]dy
= ∫_0^y [-e^(-(2x+y))|_0^x]dy
= ∫_0^y [-e^(-(2x+y)) + e^(-y)]dy
= [-1/2e^(-(2x+y)) + e^(-y)]|_0^y
= (1 - e^(-2x))(1 - e^(-y))
步骤 3：求概率P{Y≤X}
概率P{Y≤X}是随机变量Y小于等于X的概率，即P{Y≤X} = ∫∫f(x, y)dxdy，其中积分区域为y≤x。因此，概率P{Y≤X}为：
P{Y≤X} = ∫_0^∞ ∫_0^x 2e^(-(2x+y))dxdy
= ∫_0^∞ [∫_0^x 2e^(-(2x+y))dx]dy
= ∫_0^∞ [-e^(-(2x+y))|_0^x]dy
= ∫_0^∞ [-e^(-(2x+y)) + e^(-y)]dy
= [-1/2e^(-(2x+y)) + e^(-y)]|_0^∞
= 1/3
根据概率密度函数f(x, y)的定义，分布函数F(x, y)是f(x, y)在x和y的积分。对于给定的f(x, y) = 2e^(-(2x+y))，x > 0, y > 0，分布函数F(x, y)为：
F(x, y) = ∫∫f(x, y)dxdy = ∫∫2e^(-(2x+y))dxdy
其中积分区域为x > 0, y > 0。因此，分布函数F(x, y)为：
F(x, y) = ∫_0^y ∫_0^x 2e^(-(2x+y))dxdy
步骤 2：计算分布函数F(x, y)
计算分布函数F(x, y)的积分：
F(x, y) = ∫_0^y ∫_0^x 2e^(-(2x+y))dxdy
= ∫_0^y [∫_0^x 2e^(-(2x+y))dx]dy
= ∫_0^y [-e^(-(2x+y))|_0^x]dy
= ∫_0^y [-e^(-(2x+y)) + e^(-y)]dy
= [-1/2e^(-(2x+y)) + e^(-y)]|_0^y
= (1 - e^(-2x))(1 - e^(-y))
步骤 3：求概率P{Y≤X}
概率P{Y≤X}是随机变量Y小于等于X的概率，即P{Y≤X} = ∫∫f(x, y)dxdy，其中积分区域为y≤x。因此，概率P{Y≤X}为：
P{Y≤X} = ∫_0^∞ ∫_0^x 2e^(-(2x+y))dxdy
= ∫_0^∞ [∫_0^x 2e^(-(2x+y))dx]dy
= ∫_0^∞ [-e^(-(2x+y))|_0^x]dy
= ∫_0^∞ [-e^(-(2x+y)) + e^(-y)]dy
= [-1/2e^(-(2x+y)) + e^(-y)]|_0^∞
= 1/3