11.（单选题，4.0分）Res(zcos(1)/(z),0)=（）A. 0B. 1C. 1/2D. -1/2

考查要点：本题主要考查复变函数中留数的计算，特别是涉及洛朗级数展开的应用。

解题核心思路：
要计算函数 $z \cos \frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处的留数，需将其展开为洛朗级数，找到其中 $\frac{1}{z}$ 项的系数。关键步骤如下：

1. 展开 $\cos \frac{1}{z}$ 的洛朗级数；
2. 乘以 $z$ 后整理级数；
3. 定位 $\frac{1}{z}$ 项的系数。

破题关键点：

• 正确展开 $\cos \frac{1}{z}$ 的级数形式，注意其为 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{-2n}$；
• 乘以 $z$ 后调整指数，找到对应 $\frac{1}{z}$ 项的 $n$ 值（即 $n=1$）；
• 代入计算系数，最终得到留数。

1. 展开 $\cos \frac{1}{z}$ 的洛朗级数
   根据余弦函数的泰勒展开式：
   $\cos w = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n w^{2n}}{(2n)!}$
   令 $w = \frac{1}{z}$，得：
   $\cos \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{-2n}$

2. 乘以 $z$ 并整理级数
   原函数为 $z \cos \frac{1}{z}$，代入展开式：
   $z \cos \frac{1}{z} = z \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{-2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{-2n + 1}$

3. 定位 $\frac{1}{z}$ 项的系数
   需满足指数 $-2n + 1 = -1$，解得 $n=1$。
   代入 $n=1$：
   $\frac{(-1)^1}{(2 \cdot 1)!} z^{-1} = -\frac{1}{2} z^{-1}$
   因此，$\frac{1}{z}$ 项的系数为 $-\frac{1}{2}$，即所求留数为 $-\frac{1}{2}$。