求极限lim _(xarrow {0)^+}dfrac (1-sqrt {cos x)}(x(1-cos sqrt {x))}

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及有理化处理和等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：

1. 分子有理化：通过乘以共轭表达式，将分子转化为更易处理的形式。
2. 等价无穷小替换：利用$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$简化表达式。
3. 化简求极限：约分后直接代入$x \to 0$计算最终结果。

破题关键点：

• 分子有理化是消除根号的关键步骤。
• 分母中的$1 - \cos \sqrt{x}$需正确替换为$\frac{1}{2}x$，避免替换错误。
• 注意分母中$(1 + \sqrt{\cos x})$的极限值为$2$，不可忽略。

步骤1：分子有理化
将分子$1 - \sqrt{\cos x}$乘以共轭表达式$1 + \sqrt{\cos x}$：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {1-\sqrt {\cos x}}{x(1-\cos \sqrt {x})} &= \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {(1-\sqrt {\cos x})(1+\sqrt {\cos x})}{x(1-\cos \sqrt {x})(1+\sqrt {\cos x})} \\&= \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {1 - \cos x}{x(1-\cos \sqrt {x})(1+\sqrt {\cos x})}.\end{aligned}$

步骤2：应用等价无穷小替换

• 分子$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
• 分母中$1 - \cos \sqrt{x} \sim \frac{1}{2}(\sqrt{x})^2 = \frac{1}{2}x$
  代入后表达式化简为：
  $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac{\frac{1}{2}x^2}{x \cdot \frac{1}{2}x \cdot (1+\sqrt{\cos x})} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac{1}{1+\sqrt{\cos x}}.$

步骤3：代入极限值
当$x \to 0$时，$\cos x \to 1$，故$\sqrt{\cos x} \to 1$，最终结果为：
$\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}.$