题目
15.求不定积分 int sqrt ({e)^x-1}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：代换
设 $\sqrt{{e}^{x}-1}=t$，则 ${e}^{x}={t}^{2}+1$，从而 $x=\ln({t}^{2}+1)$，对 $x$ 求导得到 $dx=\dfrac{2t}{{t}^{2}+1}dt$。
步骤 2：代入
将 $dx=\dfrac{2t}{{t}^{2}+1}dt$ 代入原积分，得到 $\int \sqrt{{e}^{x}-1}dx=\int t\cdot \dfrac{2t}{{t}^{2}+1}dt$。
步骤 3：化简
化简得到 $\int (2-\dfrac{2}{{t}^{2}+1})dt$。
步骤 4：积分
对上式进行积分，得到 $2t-2\arctan t+c$。
设 $\sqrt{{e}^{x}-1}=t$，则 ${e}^{x}={t}^{2}+1$，从而 $x=\ln({t}^{2}+1)$，对 $x$ 求导得到 $dx=\dfrac{2t}{{t}^{2}+1}dt$。
步骤 2：代入
将 $dx=\dfrac{2t}{{t}^{2}+1}dt$ 代入原积分，得到 $\int \sqrt{{e}^{x}-1}dx=\int t\cdot \dfrac{2t}{{t}^{2}+1}dt$。
步骤 3：化简
化简得到 $\int (2-\dfrac{2}{{t}^{2}+1})dt$。
步骤 4：积分
对上式进行积分，得到 $2t-2\arctan t+c$。