15.求不定积分 int sqrt ({e)^x-1}dx

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过换元法处理含有指数函数和根号的积分。

解题核心思路：

1. 选择合适的换元：令$t = \sqrt{e^x - 1}$，将原积分转化为关于$t$的有理分式积分。
2. 简化积分表达式：通过代数变形，将分式拆分为容易积分的形式。
3. 反代回原变量：将积分结果中的$t$替换为$\sqrt{e^x - 1}$，得到最终答案。

破题关键点：

• 换元的选择直接影响后续计算的复杂度，需确保换元后能简化根号和分母。
• 分式的拆分技巧是简化积分的关键步骤，需灵活运用多项式除法或配方法。

换元与变量替换

设$t = \sqrt{e^x - 1}$，则：
$t^2 = e^x - 1 \implies e^x = t^2 + 1 \implies x = \ln(t^2 + 1).$
对$x$关于$t$求导：
$\frac{dx}{dt} = \frac{2t}{t^2 + 1} \implies dx = \frac{2t}{t^2 + 1} dt.$

积分表达式转换

原积分变为：
$\begin{aligned}\int \sqrt{e^x - 1} \, dx &= \int t \cdot \frac{2t}{t^2 + 1} dt \\&= \int \frac{2t^2}{t^2 + 1} dt.\end{aligned}$

分式拆分与积分

将分式拆分为：
$\frac{2t^2}{t^2 + 1} = 2 - \frac{2}{t^2 + 1}.$
逐项积分：
$\begin{aligned}\int \left(2 - \frac{2}{t^2 + 1}\right) dt &= 2t - 2\arctan t + C.\end{aligned}$

反代回原变量

将$t = \sqrt{e^x - 1}$代入，得最终结果：
$2\sqrt{e^x - 1} - 2\arctan(\sqrt{e^x - 1}) + C.$