题目
(1)证明方程x^n+x^n-1+...+x=1(n为大于1的整数)在区间((1)/(2),1)内有且仅有一个实根；(2)记(1)中的实根为x_(n)，证明lim x_(n)存在，并求此极限.
(1)证明方程$x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x=1(n$为大于1的整数)在区间$(\frac{1}{2},1)$内有且仅有一个实根；
(2)记(1)中的实根为$x_{n}$，证明$\lim x_{n}$存在，并求此极限.
题目解答
答案
(1) 定义函数 $f(x) = x^n + x^{n-1} + \cdots + x - 1$，在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上连续。
由 $f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^n < 0$ 和 $f(1) = n - 1 > 0$，根据零点存在定理，$f(x)$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有零点。
又 $f'(x) = nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + \cdots + 1 > 0$，函数单调递增，故零点唯一。
结论： 方程在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根。
(2) 记根为 $x_n$，则 $x_n^n + x_n^{n-1} + \cdots + x_n = 1$。
由 $x_n \in (\frac{1}{2}, 1)$，当 $n \to \infty$ 时，$x_n^n \to 0$，故 $\frac{x_n}{1 - x_n} \to 1$，解得 $x_n \to \frac{1}{2}$。
数列 $\{x_n\}$ 递减且有下界 $\frac{1}{2}$，收敛于 $\frac{1}{2}$。
结论： $\lim_{n \to \infty} x_n = \boxed{\frac{1}{2}}$。
解析
本题主要考查零点存在定理、函数单调性以及数列极限的相关知识。解题思路如下：
(1) 证明方程在区间$(\frac{1}{2},1)$内有且仅有一个实根
- 首先，我们定义一个函数$f(x) = x^n + x^{n - 1} + \cdots + x - 1$。因为多项式函数在其定义域内是连续的，所以$f(x)$在闭区间$[\frac{1}{2}, 1]$上连续。
- 接着，计算$f(x)$在区间端点的值：
- 计算$f(\frac{1}{2})$：
根据等比数列求和公式$S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$（其中$a_1$为首项，$q$为公比，$n$为项数），对于$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+\cdots+(\frac{1}{2})^n - 1$，这里$a_1=\frac{1}{2}$，$q=\frac{1}{2}$，$n$项，所以$f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} - 1=1 - (\frac{1}{2})^n - 1= - (\frac{1}{2})^n$。
因为$n$为大于$1$的整数，所以$(\frac{1}{2})^n>0$，则$f(\frac{1}{2})= - (\frac{1}{2})^n<0$。 - 计算$f(1)$：
$f(1)=1 + 1 + \cdots + 1 - 1$（共$n$个$1$相加再减$1$），即$f(1)=n - 1$。
因为$n$为大于$1$的整数，所以$n - 1>0$，即$f(1)>0$。
- 计算$f(\frac{1}{2})$：
- 然后，根据零点存在定理：如果函数$y = f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，那么在开区间$(a, b)$内至少存在一个点$\xi$，使得$f(\xi)=0$。
由于$f(\frac{1}{2})<0$，$f(1)>0$，所以$f(x)$在$(\frac{1}{2}, 1)$内至少有一个零点，也就是方程$x^n + x^{n - 1} + \cdots + x = 1$在$(\frac{1}{2}, 1)$内至少有一个实根。 - 最后，求$f(x)$的导数$f^\prime(x)$：
$f^\prime(x)=nx^{n - 1} + (n - 1)x^{n - 2} + \cdots + 1$。
因为$x\in(\frac{1}{2},1)$，$n$为大于$1$的整数，所以$nx^{n - 1} + (n - 1)x^{n - 2} + \cdots + 1>0$，即$f^\prime(x)>0$。
这说明函数$f(x)$在$(\frac{1}{2}, 1)$上单调递增，所以$f(x)$在$(\frac{1}{2}, 1)$内有且仅有一个零点，也就是方程$x^n + x^{n - 1} + \cdots + x = 1$在$(\frac{1}{2}, 1)$内有且仅有一个实根。
(2) 证明$\lim_{n \to \infty} x_n$存在并求此极限
- 记(1)中的实根为$x_n$，则$x_n^n + x_n^{n - 1} + \cdots + x_n = 1$。
由等比数列求和公式可得$x_n^n + x_n^{n - 1} + \cdots + x_n=\frac{x_n(1 - x_n^n)}{1 - x_n}=1$，即$\frac{x_n}{1 - x_n}=\frac{1}{1 - x_n^n}$。 - 因为$x_n\in(\frac{1}{2}, 1)$，当$n \to \infty$时，根据指数函数的性质，$x_n^n\to 0$。
所以$\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{1 - x_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{1 - x_n^n}=\frac{1}{1 - 0}=1$。 - 设$\lim_{n \to \infty} x_n = A$，对$\frac{x_n}{1 - x_n}=1$两边同时取极限$n \to \infty$，得到$\frac{A}{1 - A}=1$。
解方程$\frac{A}{1 - A}=1$，等式两边同乘$1 - A$得$A = 1 - A$，移项可得$2A = 1$，解得$A = \frac{1}{2}$。 - 下面证明数列$\{x_n\}$递减且有下界$\frac{1}{2}$：
- 有下界：由(1)可知$x_n\in(\frac{1}{2}, 1)$，所以$\{x_n\}$有下界$\frac{1}{2}$。
- 递减性：考虑$f_n(x)=x^n + x^{n - 1} + \cdots + x - 1$，$f_{n + 1}(x)=x^{n + 1} + x^n + \cdots + x - 1$。
$f_{n + 1}(x)-f_n(x)=x^{n + 1}-1=(x - 1)(x^n + x^{n - 1} + \cdots + 1)$。
当$x\in(\frac{1}{2}, 1)$时，$x - 1<0$，$x^n + x^{n - 1} + \cdots + 1>0$，所以$f_{n + 1}(x)-f_n(x)<0$，即$f_{n + 1}(x)