题目

质点P在水平面内沿一半径为 R=2m-|||-的圆轨道转动.转动的角速度w与时间-|||-t的函数关系为 omega =k(t)^2 (k为常量).已知-|||-t=2s 时,质点P的速度值为 /s. 试-|||-求t=1s 时,质点P的速度与加速度的-|||-大小. 质点P在水平面内沿一半径为 R=2m-|||-的圆轨道转动.转动的角速度w与时间-|||-t的函数关系为 omega =k(t)^2 (k为常量).已知-|||-t=2s 时,质点P的速度值为 /s. 试-|||-求t=1s 时,质点P的速度与加速度的-|||-大小.

$\begin {aligned} &质点 P 在水平面内沿一半径为 R=2 m\\& 的圆轨道转动. 转动的角速度 \omega 与时间\\& t 的函数关系为 \omega=k t^2 ( k 为常量). 已知\\& t=2 s 时, 质点 P 的速度值为 32 m / s. 试\\&求 t=1 s 时, 质点 P 的速度与加速度的\\&大小. \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &首先，我们可以使用角速度和线速度\\&之间的关系来解决这个问题。对于半\\&径为 R 的圆轨道上的质点，其线速度\\& v 和角速度 \omega 之间有以下关系： \\ &v = R \cdot \omega \\ &在这个问题中，已知 R = 2 \, {m} 和 \omega = k t\\&^2。我们可以将这些值代入上述公式，\\&得到： \\ &v = 2 \cdot k t^2 \\ &现在，我们已知 t = 2 \, {s} 时 v = 32 \, {m/s}。\\&将这些值代入上面的公式，我们可以\\&解出常量 k： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &32 = 2 \cdot k \cdot (2^2) \\ &解得 k = 4 。 \\ &现在，我们可以使用得到的角速度表\\&达式来计算 t = 1 \, {s} 时质点的速度和加\\&速度。 \\ &当 t = 1 \, {s} 时，\omega = k \cdot (1^2) = 4 \, {rad/s}。将\\&这个角速度代入线速度公式，得到： \\ &v = 2 \cdot 4 \cdot (1^2) = 8 \, {m/s} \\ &所以，当 t = 1 \, {s} 时，质点的速度为 8 \,\\& {m/s}。 \\ &加速度可以通过角加速度来计算，其\\&中角加速度 \alpha 与角速度 \omega 的关系为： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &\alpha = \frac{d\omega}{dt} \\ &在这个问题中，\omega = k t^2，所以： \\ &\alpha = \frac{d}{dt} (k t^2) = 2 k t \\ &当 t = 1 \, {s} 时，\alpha = 2 \cdot 4 \cdot 1 = 8 \, {rad/s}^2。 \\ &由于质点在圆轨道上运动，其加速度\\&大小等于向心加速度的大小。向心加\\&速度 a_c 与角速度 \omega 和半径 R 的关系为： \\ &a_c = R \cdot \omega^2 \\ &代入已知的值，得到： \\ &a_c = 2 \cdot (4 \cdot 1^2)^2 = 32 \, {m/s}^2 \\ &所以，当 t = 1 \, {s} 时，质点的速度大小\\&为 8 \, {m/s}，加速度大小为 8 \, {rad/s}^2（向\\&心加速度）或 32 \, {m/s}^2（线加速度）。\\& \end {aligned}$