题目
求两直线 L1: (x)/(2) = y - 1 = z + 1, L2: (x+1)/(-1) = (y-1)/(2) = z 之间的最短距离。 A. 直线 L1 的参数方程为: x = 2t, y = 1 + t, z = -1 + t, 直线 L2 的参数方程为: x = -1 - tau, y = 1 + 2tau, z = tauB. 令 f'(t, tau)= 4(2t + tau + 1)+ 2(t - 2tau)+ 2(-1 + t - tau)= 0, f'(t, tau)= 2(2t + tau + 1)- 4(t - 2tau)- 2(-1 + t - tau)= 0C. 得二直线之间的最短距离为 [ d = sqrt((-(16)/(35) - (13)/(35) + 1)^2 + (-(8)/(35) - (26)/(35))^2 + (-(8)/(35) + (13)/(35) - 1)^2) = (6sqrt(35))/(35) ]D. 化简得方程组 6t - tau + 1 = 0, -t + 6tau + 2 = 0, 解得 t = -(8)/(35), tau = -(13)/(35)
求两直线 $L1: \frac{x}{2} = y - 1 = z + 1$, $L2: \frac{x+1}{-1} = \frac{y-1}{2} = z$ 之间的最短距离。
- A. 直线 $L1$ 的参数方程为: $x = 2t, y = 1 + t, z = -1 + t$, 直线 $L2$ 的参数方程为: $x = -1 - \tau, y = 1 + 2\tau, z = \tau$
- B. 令 $f'(t, \tau)= 4(2t + \tau + 1)+ 2(t - 2\tau)+ 2(-1 + t - \tau)= 0$, $f'(t, \tau)= 2(2t + \tau + 1)- 4(t - 2\tau)- 2(-1 + t - \tau)= 0$
- C. 得二直线之间的最短距离为
$d = \sqrt{(-\frac{16}{35} - \frac{13}{35} + 1)^2 + \left(-\frac{8}{35} - \frac{26}{35}\right)^2 + \left(-\frac{8}{35} + \frac{13}{35} - 1\right)^2} = \frac{6\sqrt{35}}{35}$ - D. 化简得方程组 $6t - \tau + 1 = 0, -t + 6\tau + 2 = 0$, 解得 $t = -\frac{8}{35}, \tau = -\frac{13}{35}$
题目解答
答案
将两直线方程转换为参数形式：
直线 $L_1: x = 2t, y = t + 1, z = t - 1$，
直线 $L_2: x = -1 - \tau, y = 2\tau + 1, z = \tau$。
计算方向向量：
$\mathbf{d_1} = (2, 1, 1)$，$\mathbf{d_2} = (-1, 2, 1)$。
求向量 $\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1} = (-1, 0, 1)$ 及其与 $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$ 的点积：
$\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} = (-1, -3, 5)$，
$(\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}) \cdot (\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}) = 6$。
计算 $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$ 的模：
$|\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}| = \sqrt{35}$。
最短距离：
\[
d = \frac{|6|}{\sqrt{35}} = \frac{6\sqrt{35}}{35}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{6\sqrt{35}}{35}}$
解析
步骤 1：参数方程转换
将两直线方程转换为参数形式： 直线 $L_1: x = 2t, y = t + 1, z = t - 1$， 直线 $L_2: x = -1 - \tau, y = 2\tau + 1, z = \tau$。
步骤 2：计算方向向量
计算方向向量： $\mathbf{d_1} = (2, 1, 1)$，$\mathbf{d_2} = (-1, 2, 1)$。
步骤 3：求向量 $\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}$ 及其与 $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$ 的点积
求向量 $\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1} = (-1, 0, 1)$ 及其与 $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$ 的点积： $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} = (-1, -3, 5)$， $(\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}) \cdot (\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}) = 6$。
步骤 4：计算 $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$ 的模
计算 $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$ 的模： $|\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}| = \sqrt{35}$。
步骤 5：计算最短距离
最短距离： \[ d = \frac{|6|}{\sqrt{35}} = \frac{6\sqrt{35}}{35} \]
将两直线方程转换为参数形式： 直线 $L_1: x = 2t, y = t + 1, z = t - 1$， 直线 $L_2: x = -1 - \tau, y = 2\tau + 1, z = \tau$。
步骤 2：计算方向向量
计算方向向量： $\mathbf{d_1} = (2, 1, 1)$，$\mathbf{d_2} = (-1, 2, 1)$。
步骤 3：求向量 $\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}$ 及其与 $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$ 的点积
求向量 $\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1} = (-1, 0, 1)$ 及其与 $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$ 的点积： $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} = (-1, -3, 5)$， $(\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}) \cdot (\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}) = 6$。
步骤 4：计算 $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$ 的模
计算 $\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$ 的模： $|\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}| = \sqrt{35}$。
步骤 5：计算最短距离
最短距离： \[ d = \frac{|6|}{\sqrt{35}} = \frac{6\sqrt{35}}{35} \]