题目
半径分别为 R1和R2 (R2 > R1 )的两个同心导体薄球壳, 分别带有电荷 Q1和 Q2,今将 内球壳用细导线与远处半径为 r 的导体球相联,如图所示 , 导体球原来不带电,试 求相联后导体球所带电荷 q.
半径分别为 R1和R2 (R2 > R1 )的两个同心导体薄球壳, 分别带有电荷 Q1和 Q2,今将 内球壳用细导线与远处半径为 r 的导体球相联,如图所示 , 导体球原来不带电,试 求相联后导体球所带电荷 q.
题目解答
答案
最佳答案
解:内球壳带电量为 :Q1 -q 内球壳的电势为 :U1=(Q1-q)/R1+Q2/R2 导体球电势为 :Ur=q/ r
根据题意 :U1=Ur, 整理得 :
qR1R2 = Q1R2 r-qR2 r+ R1Q2r 解出来 q
q=(Q1R2 r+ R1Q2r)/(R1R2+R2 r)
解析
步骤 1：确定电势相等条件
由于内球壳与远处的导体球通过细导线相连，它们的电势相等。因此，我们需要计算内球壳的电势和导体球的电势，并使它们相等。
步骤 2：计算内球壳的电势
内球壳的电势由两部分组成：内球壳自身带电产生的电势和外球壳带电产生的电势。内球壳带电 Q1-q，外球壳带电 Q2。因此，内球壳的电势为：
\[ U_1 = \frac{Q_1 - q}{4\pi\epsilon_0 R_1} + \frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 R_2} \]
步骤 3：计算导体球的电势
导体球的电势由其自身带电 q 产生，因此导体球的电势为：
\[ U_r = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} \]
步骤 4：使电势相等并求解 q
根据电势相等的条件，我们有：
\[ U_1 = U_r \]
\[ \frac{Q_1 - q}{4\pi\epsilon_0 R_1} + \frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 R_2} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} \]
整理得：
\[ (Q_1 - q)R_2r + Q_2R_1r = qR_1R_2 \]
\[ Q_1R_2r + Q_2R_1r = q(R_1R_2 + R_2r) \]
\[ q = \frac{Q_1R_2r + Q_2R_1r}{R_1R_2 + R_2r} \]
由于内球壳与远处的导体球通过细导线相连，它们的电势相等。因此，我们需要计算内球壳的电势和导体球的电势，并使它们相等。
步骤 2：计算内球壳的电势
内球壳的电势由两部分组成：内球壳自身带电产生的电势和外球壳带电产生的电势。内球壳带电 Q1-q，外球壳带电 Q2。因此，内球壳的电势为：
\[ U_1 = \frac{Q_1 - q}{4\pi\epsilon_0 R_1} + \frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 R_2} \]
步骤 3：计算导体球的电势
导体球的电势由其自身带电 q 产生，因此导体球的电势为：
\[ U_r = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} \]
步骤 4：使电势相等并求解 q
根据电势相等的条件，我们有：
\[ U_1 = U_r \]
\[ \frac{Q_1 - q}{4\pi\epsilon_0 R_1} + \frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 R_2} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} \]
整理得：
\[ (Q_1 - q)R_2r + Q_2R_1r = qR_1R_2 \]
\[ Q_1R_2r + Q_2R_1r = q(R_1R_2 + R_2r) \]
\[ q = \frac{Q_1R_2r + Q_2R_1r}{R_1R_2 + R_2r} \]