题目
求曲线 ) x=1+t y=2+(t)^2 z=3+(t)^3 . 并写出切线的方程。
求曲线 
上一点,使该点处曲线的切线垂直于平面
并写出切线的方程。
题目解答
答案
由题意曲线的切向量为
，
平面平面的法向量为
，
曲线的切线垂直平面，则向量
平行
即
，解得
则切点坐标为
切向量为
故切线方程为
解析
步骤 1：确定曲线的切向量
曲线的参数方程为 $\left \{ \begin{matrix} x=1+t\\ y=2+{t}^{2}\\ z=3+{t}^{3}\end{matrix} \right.$，因此曲线的切向量为 $\overrightarrow {u}=(1,2t,3{t}^{2})$。
步骤 2：确定平面的法向量
平面x+2y+3z=4的法向量为 $\overrightarrow {n}=(1,2,3)$。
步骤 3：确定切线垂直于平面的条件
曲线的切线垂直于平面，则切向量 $\overrightarrow {u}$ 与平面的法向量 $\overrightarrow {n}$ 平行，即 $\overrightarrow {u} = k\overrightarrow {n}$，其中 $k$ 是常数。因此，我们有 $\dfrac {1}{1}=\dfrac {2t}{2}=\dfrac {3{t}^{2}}{3}$，解得 $t=1$。
步骤 4：确定切点坐标
将 $t=1$ 代入曲线的参数方程，得到切点坐标为 $(2,3,4)$。
步骤 5：确定切线方程
切向量为 $\overrightarrow {u}=(1,2,3)$，因此切线方程为 $\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y-3}{2}=\dfrac {z-4}{3}$。
曲线的参数方程为 $\left \{ \begin{matrix} x=1+t\\ y=2+{t}^{2}\\ z=3+{t}^{3}\end{matrix} \right.$，因此曲线的切向量为 $\overrightarrow {u}=(1,2t,3{t}^{2})$。
步骤 2：确定平面的法向量
平面x+2y+3z=4的法向量为 $\overrightarrow {n}=(1,2,3)$。
步骤 3：确定切线垂直于平面的条件
曲线的切线垂直于平面，则切向量 $\overrightarrow {u}$ 与平面的法向量 $\overrightarrow {n}$ 平行，即 $\overrightarrow {u} = k\overrightarrow {n}$，其中 $k$ 是常数。因此，我们有 $\dfrac {1}{1}=\dfrac {2t}{2}=\dfrac {3{t}^{2}}{3}$，解得 $t=1$。
步骤 4：确定切点坐标
将 $t=1$ 代入曲线的参数方程，得到切点坐标为 $(2,3,4)$。
步骤 5：确定切线方程
切向量为 $\overrightarrow {u}=(1,2,3)$，因此切线方程为 $\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y-3}{2}=\dfrac {z-4}{3}$。