题目
将xOz坐标面上的抛物线z^2=5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程
将$$xOz$$坐标面上的抛物线$$z^2=5x$$绕$$x$$轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转曲面的生成方式
旋转曲面是由一条曲线绕着某条轴旋转一周生成的。在这个问题中，给定的曲线是$$xOz$$坐标面上的抛物线$$z^2=5x$$，它将绕$$x$$轴旋转一周。
步骤 2：应用旋转曲面的生成公式
对于$$xOz$$坐标面上的曲线$$F(x,z)=0$$绕$$x$$轴旋转一周所生成的旋转曲面方程，可以使用公式$$F(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})=0$$。这是因为旋转过程中，$$x$$坐标保持不变，而$$z$$坐标变为$$\pm \sqrt{y^2+z^2}$$，其中$$y$$是旋转过程中新引入的坐标。
步骤 3：将给定的抛物线方程代入旋转曲面的生成公式
将$$z^2=5x$$代入$$F(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})=0$$，得到$$(\pm \sqrt{y^2+z^2})^2=5x$$。由于平方运算消除了正负号，因此可以简化为$$y^2+z^2=5x$$。
旋转曲面是由一条曲线绕着某条轴旋转一周生成的。在这个问题中，给定的曲线是$$xOz$$坐标面上的抛物线$$z^2=5x$$，它将绕$$x$$轴旋转一周。
步骤 2：应用旋转曲面的生成公式
对于$$xOz$$坐标面上的曲线$$F(x,z)=0$$绕$$x$$轴旋转一周所生成的旋转曲面方程，可以使用公式$$F(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})=0$$。这是因为旋转过程中，$$x$$坐标保持不变，而$$z$$坐标变为$$\pm \sqrt{y^2+z^2}$$，其中$$y$$是旋转过程中新引入的坐标。
步骤 3：将给定的抛物线方程代入旋转曲面的生成公式
将$$z^2=5x$$代入$$F(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})=0$$，得到$$(\pm \sqrt{y^2+z^2})^2=5x$$。由于平方运算消除了正负号，因此可以简化为$$y^2+z^2=5x$$。