题目
设A是3阶矩阵,已知|A+E|=0,|A+2E|=0,|A+3E|=0,则|A+4E|= ________ .
设A是3阶矩阵,已知|A+E|=0,|A+2E|=0,|A+3E|=0,则|A+4E|= ________ .
题目解答
答案
正确答案:6解析:由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0,知A有特征值.λ=一1,一2,一3,A+4E有λ=3,2,1,故|A+4E|=6. 知识模块:线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
解析
步骤 1：理解特征值与行列式的关系
矩阵A的特征值是满足方程|A-λE|=0的λ值。给定的条件|A+E|=0, |A+2E|=0, |A+3E|=0表明-1, -2, -3是矩阵A的特征值。
步骤 2：确定A+4E的特征值
由于A的特征值为-1, -2, -3，那么A+4E的特征值为-1+4=3, -2+4=2, -3+4=1。
步骤 3：计算|A+4E|
矩阵A+4E的行列式等于其特征值的乘积，即|A+4E|=3×2×1=6。
矩阵A的特征值是满足方程|A-λE|=0的λ值。给定的条件|A+E|=0, |A+2E|=0, |A+3E|=0表明-1, -2, -3是矩阵A的特征值。
步骤 2：确定A+4E的特征值
由于A的特征值为-1, -2, -3，那么A+4E的特征值为-1+4=3, -2+4=2, -3+4=1。
步骤 3：计算|A+4E|
矩阵A+4E的行列式等于其特征值的乘积，即|A+4E|=3×2×1=6。