题目
已知f1, f2是非齐次方程Ax=b的两个不同的解，g1, g2是对应齐次方程Ax=0的基础解系，k1, k2∈R，则方程Ax=b的通解是( )A. k 1g 1+k 2(g 1+g 2)+(f 1-f 2)/2B. k 1g 1+k 2(g 2-g 1)+(f 1+f 2)/2C. k 1g 1+k 2(f 1+f 2)+(f 1-f 2)/2D. k 1g 1+k 2(f 1-f 2)+(f 1+f 2)/2
已知f1, f2是非齐次方程Ax=b的两个不同的解，g1, g2是对应齐次方程Ax=0的基础解系，k1, k2∈R，则方程Ax=b的通解是( )
A. k 1g 1+k 2(g 1+g 2)+(f 1-f 2)/2
B. k 1g 1+k 2(g 2-g 1)+(f 1+f 2)/2
C. k 1g 1+k 2(f 1+f 2)+(f 1-f 2)/2
D. k 1g 1+k 2(f 1-f 2)+(f 1+f 2)/2
题目解答
答案
B. k 1g 1+k 2(g 2-g 1)+(f 1+f 2)/2
解析
步骤 1：理解非齐次方程的通解形式
非齐次方程Ax=b的通解形式为：非齐次方程的特解加上对应齐次方程的通解。即，如果f是Ax=b的一个特解，而g是Ax=0的通解，则Ax=b的通解为f+g。
步骤 2：确定非齐次方程的特解
已知f1和f2是非齐次方程Ax=b的两个不同的解，那么f1和f2的平均值(f1+f2)/2也是Ax=b的一个特解。这是因为A(f1+f2)/2 = (Af1+Af2)/2 = (b+b)/2 = b。
步骤 3：确定齐次方程的通解
已知g1和g2是Ax=0的基础解系，那么k1g1+k2g2是Ax=0的通解，其中k1和k2是任意实数。
步骤 4：组合特解和通解
将步骤2和步骤3的结果组合起来，得到Ax=b的通解为：(f1+f2)/2 + k1g1 + k2g2。为了匹配选项中的形式，可以将k2g2写成k2(g2-g1+g1) = k2(g2-g1) + k2g1，这样可以将k1g1和k2g1合并为(k1+k2)g1，但为了保持选项的原貌，我们直接使用k1g1和k2(g2-g1)的形式。
非齐次方程Ax=b的通解形式为：非齐次方程的特解加上对应齐次方程的通解。即，如果f是Ax=b的一个特解，而g是Ax=0的通解，则Ax=b的通解为f+g。
步骤 2：确定非齐次方程的特解
已知f1和f2是非齐次方程Ax=b的两个不同的解，那么f1和f2的平均值(f1+f2)/2也是Ax=b的一个特解。这是因为A(f1+f2)/2 = (Af1+Af2)/2 = (b+b)/2 = b。
步骤 3：确定齐次方程的通解
已知g1和g2是Ax=0的基础解系，那么k1g1+k2g2是Ax=0的通解，其中k1和k2是任意实数。
步骤 4：组合特解和通解
将步骤2和步骤3的结果组合起来，得到Ax=b的通解为：(f1+f2)/2 + k1g1 + k2g2。为了匹配选项中的形式，可以将k2g2写成k2(g2-g1+g1) = k2(g2-g1) + k2g1，这样可以将k1g1和k2g1合并为(k1+k2)g1，但为了保持选项的原貌，我们直接使用k1g1和k2(g2-g1)的形式。