曲线 x = sqrt(2) cos t, y = sin t, z = sin t 在点 (sqrt(2), 0, 0) 处的法平面方程为____.A. x + y = 0B. x + z = 0C. y + z = 0D. x + y + z = 0

步骤 1：确定对应于点 $(\sqrt{2}, 0, 0)$ 的 $t$ 值
给定 $x = \sqrt{2} \cos t$, $y = \sin t$, 和 $z = \sin t$，我们将 $x = \sqrt{2}$, $y = 0$, 和 $z = 0$ 代入方程：
\[ \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos t, \quad 0 = \sin t, \quad 0 = \sin t. \]
从 $\sqrt{2} = \sqrt{2} \cos t$，我们得到 $\cos t = 1$。从 $0 = \sin t$，我们得到 $\sin t = 0$。因此，$t = 0$。

步骤 2：找到 $t = 0$ 处切向量
切向量 $\mathbf{r}'(t)$ 由 $x$, $y$, 和 $z$ 关于 $t$ 的导数给出：
\[ \mathbf{r}'(t) = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = \left( -\sqrt{2} \sin t, \cos t, \cos t \right). \]
在 $t = 0$ 处，切向量为：
\[ \mathbf{r}'(0) = \left( -\sqrt{2} \sin 0, \cos 0, \cos 0 \right) = \left( 0, 1, 1 \right). \]

步骤 3：确定法平面的方程
法平面在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处与切向量 $\mathbf{r}'(t)$ 垂直。法平面的方程由下式给出：
\[ \mathbf{r}'(t) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0. \]
代入 $\mathbf{r}'(0) = (0, 1, 1)$ 和点 $(\sqrt{2}, 0, 0)$，我们得到：
\[ (0, 1, 1) \cdot (x - \sqrt{2}, y - 0, z - 0) = 0. \]
这简化为：
\[ 0 \cdot (x - \sqrt{2}) + 1 \cdot y + 1 \cdot z = 0, \]
或
\[ y + z = 0. \]