设 ) x=ln (1+(t)^2) y=(t)^3+2 ._____________。

步骤 1：计算$\dfrac{dy}{dt}$和$\dfrac{dx}{dt}$
根据给定的参数方程，我们首先计算$y$和$x$关于$t$的导数。
$\dfrac{dy}{dt} = 3t^2$
$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{2t}{1+t^2}$

步骤 2：计算$\dfrac{dy}{dx}$
利用链式法则，我们有$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$。
代入步骤1中的结果，得到$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t^2}{\dfrac{2t}{1+t^2}} = \dfrac{3t^2(1+t^2)}{2t} = \dfrac{3}{2}t(1+t^2)$。

步骤 3：计算$\dfrac{d^2y}{dx^2}$
为了计算二阶导数，我们需要对$\dfrac{dy}{dx}$关于$x$求导。由于$x$是$t$的函数，我们再次使用链式法则。
$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d(\dfrac{dy}{dx})}{dx} = \dfrac{d(\dfrac{dy}{dx})}{dt} \cdot \dfrac{dt}{dx}$
首先计算$\dfrac{d(\dfrac{dy}{dx})}{dt}$，即$\dfrac{d(\dfrac{3}{2}t(1+t^2))}{dt} = \dfrac{3}{2}(1+3t^2)$。
然后计算$\dfrac{dt}{dx}$，即$\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{1+t^2}{2t}$。
最后，将这两个结果相乘，得到$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{3}{2}(1+3t^2) \cdot \dfrac{1+t^2}{2t} = \dfrac{3(1+3t^2)(1+t^2)}{4t}$。