[题目]求函数 =dfrac ({ln )^2x}(x) 的极值。

考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值的方法，涉及函数定义域的确定、导数的计算、临界点的求解以及利用导数符号变化判断极值的能力。

解题核心思路：

1. 确定定义域：根据函数表达式中的对数函数$\ln x$，确定定义域为$(0, +\infty)$。
2. 求导数：通过商的导数法则或乘积法则求导，化简后得到$y' = \dfrac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2}$。
3. 求临界点：令导数为零，解得$x=1$和$x=e^2$。
4. 分析导数符号变化：通过替换变量$t = \ln x$，将分子转化为$t(2-t)$，分析符号变化，确定函数的单调区间。
5. 判断极值：结合单调区间的变化，确定$x=1$为极小值点，$x=e^2$为极大值点。

破题关键点：

• 导数的正确计算：注意分母$x^2$始终为正，只需分析分子$2\ln x - (\ln x)^2$的符号。
• 变量替换简化分析：令$t = \ln x$，将问题转化为关于$t$的二次函数分析，更直观判断符号变化。

1. 确定定义域

函数$y = \dfrac{(\ln x)^2}{x}$中，$\ln x$要求$x > 0$，因此定义域为$(0, +\infty)$。

2. 求导数

使用商的导数法则：
$y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{(\ln x)^2}{x} \right) = \frac{2\ln x \cdot \frac{1}{x} \cdot x - (\ln x)^2 \cdot 1}{x^2} = \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2}.$

3. 求临界点

令$y' = 0$，即分子$2\ln x - (\ln x)^2 = 0$，因式分解得：
$\ln x (2 - \ln x) = 0 \implies \ln x = 0 \text{ 或 } \ln x = 2 \implies x = 1 \text{ 或 } x = e^2.$

4. 分析导数符号变化

令$t = \ln x$，则分子为$t(2 - t)$：

• 当$0 < t < 2$时（即$1 < x < e^2$），$t(2 - t) > 0$，导数为正，函数递增。
• 当$t < 0$或$t > 2$时（即$0 < x < 1$或$x > e^2$），$t(2 - t) < 0$，导数为负，函数递减。

5. 判断极值

• 极小值点：$x=1$处，函数由递减转为递增，故为极小值点，极小值为$y(1) = 0$。
• 极大值点：$x=e^2$处，函数由递增转为递减，故为极大值点，极大值为$y(e^2) = \dfrac{4}{e^2}$。