题目
11.序列(yn)满足递推关系-|||-yn=10y(n-1)-1 (n=1,2,···),-|||-若 _(0)=sqrt (2)approx 1.41 (三位有效数字),计算到y10时误差有多大?这个计算过-|||-程稳定吗?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定初始条件
给定 ${y}_{0}=\sqrt {2}\approx 1.41$，其中 $\sqrt {2}$ 的精确值为 $1.4142135623730951...$，而近似值 $1.41$ 保留了三位有效数字。因此，初始条件的误差为 $\in ({{y}_{0}}^{x})=\dfrac {1}{2}\times {10}^{-2}$。
步骤 2：分析递推关系
递推关系为 ${y}_{n}=10{y}_{n-1}-1$。根据这个关系，我们可以看到每次迭代都会将前一个值乘以10，然后减去1。这意味着每次迭代都会放大前一个值的误差。
步骤 3：计算误差
由于每次迭代都会将误差放大10倍，因此误差会随着迭代次数的增加而指数增长。具体来说，误差为 $\in ({y}_{n})=10^{n}\in ({{y}_{0}}^{x})$。对于 $n=10$，误差为 $\in ({y}_{10})=10^{10}\times \dfrac {1}{2}\times {10}^{-2}=\dfrac {1}{2}\times {10}^{8}$。
步骤 4：判断计算过程的稳定性
由于误差随着迭代次数的增加而指数增长，因此这个计算过程是不稳定的。
给定 ${y}_{0}=\sqrt {2}\approx 1.41$，其中 $\sqrt {2}$ 的精确值为 $1.4142135623730951...$，而近似值 $1.41$ 保留了三位有效数字。因此，初始条件的误差为 $\in ({{y}_{0}}^{x})=\dfrac {1}{2}\times {10}^{-2}$。
步骤 2：分析递推关系
递推关系为 ${y}_{n}=10{y}_{n-1}-1$。根据这个关系，我们可以看到每次迭代都会将前一个值乘以10，然后减去1。这意味着每次迭代都会放大前一个值的误差。
步骤 3：计算误差
由于每次迭代都会将误差放大10倍，因此误差会随着迭代次数的增加而指数增长。具体来说，误差为 $\in ({y}_{n})=10^{n}\in ({{y}_{0}}^{x})$。对于 $n=10$，误差为 $\in ({y}_{10})=10^{10}\times \dfrac {1}{2}\times {10}^{-2}=\dfrac {1}{2}\times {10}^{8}$。
步骤 4：判断计算过程的稳定性
由于误差随着迭代次数的增加而指数增长，因此这个计算过程是不稳定的。