题目
已知函数f（x）=3sin（2x-(π)/(6)）．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）若函数y=f（x）-a在x∈[(π)/(12)，(5π)/(12)]存在零点，求实数a的取值范围．
已知函数$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{6}）$．
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若函数y=f（x）-a在$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$存在零点，求实数a的取值范围．
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若函数y=f（x）-a在$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$存在零点，求实数a的取值范围．
题目解答
答案
解：（1）因为$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{6}）$，
所以T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
所以x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
所以函数f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
（3）因为函数y=f（x）-a在$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$存在零点，
即方程sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{a}{3}$在$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$上有解，
当$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$时，2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，
所以0≤$\frac{a}{3}$≤1，
即0≤a≤3，
故实数a的取值范围为[0，3]．
所以T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
所以x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
所以函数f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
（3）因为函数y=f（x）-a在$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$存在零点，
即方程sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{a}{3}$在$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$上有解，
当$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$时，2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，
所以0≤$\frac{a}{3}$≤1，
即0≤a≤3，
故实数a的取值范围为[0，3]．
解析
步骤 1：求f（x）的最小正周期
函数$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{6}）$的周期由$2x-\frac{π}{6}$的系数决定，即$2x$的系数为2，因此周期$T=\frac{2π}{2}=π$。
步骤 2：求f（x）的对称中心
令$2x-\frac{π}{6}=kπ$，解得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，k∈Z，因此对称中心为$(\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12},0)$，k∈Z。
步骤 3：求f（x）的单调递增区间
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z，因此单调递增区间为$[-\frac{π}{6}+kπ,kπ+\frac{π}{3}]$，k∈Z。
步骤 4：求实数a的取值范围
函数y=f（x）-a在$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$存在零点，即方程$sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{a}{3}$在$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$上有解。当$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$时，$2x-\frac{π}{6}∈[0，\frac{2π}{3}]$，因此$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[0，1]$，所以$0≤\frac{a}{3}≤1$，即$0≤a≤3$。
函数$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{6}）$的周期由$2x-\frac{π}{6}$的系数决定，即$2x$的系数为2，因此周期$T=\frac{2π}{2}=π$。
步骤 2：求f（x）的对称中心
令$2x-\frac{π}{6}=kπ$，解得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，k∈Z，因此对称中心为$(\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12},0)$，k∈Z。
步骤 3：求f（x）的单调递增区间
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z，因此单调递增区间为$[-\frac{π}{6}+kπ,kπ+\frac{π}{3}]$，k∈Z。
步骤 4：求实数a的取值范围
函数y=f（x）-a在$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$存在零点，即方程$sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{a}{3}$在$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$上有解。当$x∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$时，$2x-\frac{π}{6}∈[0，\frac{2π}{3}]$，因此$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[0，1]$，所以$0≤\frac{a}{3}≤1$，即$0≤a≤3$。