设曲线在点 (x, y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方，该曲线所满足的微分方程是 (); 过点 (1, 3)的曲线方程为 ().A. y' = x^2; y = (1)/(3)x^3 + (8)/(3)B. y' = x^2; y = (1)/(3)x^3 + (1)/(3)C. y' = x^3; y = (1)/(3)x^3 + (1)/(3)D. y' = x^3; y = (1)/(3)x^3 + (8)/(3)

考查要点：本题主要考查导数的几何意义、微分方程的建立以及利用初始条件求解特解的能力。

解题核心思路：

1. 根据斜率与横坐标的关系建立微分方程：曲线在点$(x, y)$处的切线斜率即为该点的导数$y'$，题目中给出斜率等于$x^2$，因此微分方程为$y' = x^2$。
2. 求解微分方程：通过积分求出通解，再代入已知点$(1, 3)$确定积分常数，得到特解。

破题关键点：

• 正确建立微分方程：明确斜率与导数的关系。
• 准确积分：对$x^2$积分时注意系数和常数项。
• 代入初始条件：通过点$(1, 3)$求出积分常数。

第一步：建立微分方程

题目中明确说明切线斜率等于横坐标的平方，即：
$y' = x^2$

第二步：求解微分方程

对微分方程$y' = x^2$两边积分：
$\int y' \, dx = \int x^2 \, dx \implies y = \frac{1}{3}x^3 + C$
其中$C$为积分常数。

第三步：代入初始条件求特解

将点$(1, 3)$代入通解：
$3 = \frac{1}{3}(1)^3 + C \implies 3 = \frac{1}{3} + C \implies C = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$
因此，曲线方程为：
$y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{3}$

第四步：匹配选项

选项中满足微分方程$y' = x^2$且特解为$y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{3}$的是选项A。