题目
设向量组α 1，α 2，α 3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ） A. α 1+α 2，α 2+α 3，α 3-α 1 B. α 1+α 2，α 2+α 3，α 1+2α 2+α 3 C. α 1+2α 2，2α 2+3α 3，3α 3+α 1 D. α 1+α 2+α 3，2α 1-3α 2+22α 3，3α 1+5α 2-5α 3
设向量组α
1，α
2，α
3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
A. α 1+α 2，α 2+α 3，α 3-α 1
B. α 1+α 2，α 2+α 3，α 1+2α 2+α 3
C. α 1+2α 2，2α 2+3α 3，3α 3+α 1
D. α 1+α 2+α 3，2α 1-3α 2+22α 3，3α 1+5α 2-5α 3
A. α 1+α 2，α 2+α 3，α 3-α 1
B. α 1+α 2，α 2+α 3，α 1+2α 2+α 3
C. α 1+2α 2，2α 2+3α 3，3α 3+α 1
D. α 1+α 2+α 3，2α 1-3α 2+22α 3，3α 1+5α 2-5α 3
题目解答
答案
对于选项A：
因为α 3-α 1=（α 2+α 3）-（α 1+α 2），
故向量组α 1+α 2，α 2+α 3，α 3-α 1线性相关，
从而排除A．
对于选项B：
因为α 1+2α 2+α 3=（α 1+α 2）+（α 2+α 3），
故向量组α 1+α 2，α 2+α 3，α 1+2α 2+α 3线性相关，
从而排除B．
对于选项C：
若存在常数k 1，k 2，k 3，使得：
k 1（α 1+2α 2）+k 2（2α 2+3α 3）+k 3（3α 3+α 1）=（k 1+k 3）α 1+（2k 1+2k 2）α 2+（3k 2+3k 3）α 3=0，
由于向量组α 1，α 2，α 3线性无关，则有：
，①
因为齐次线性方程组①的系数行列式为：
|A|=
=
=12≠0，
故齐次线性方程组①有唯一零解，
即：k 1=k 2=k 3=0，
故向量组α 1+2α 2，2α 2+3α 3，3α 3+α 1线性无关．
从而选项C正确．
对于选项D：
类似于选项C的分析，
假设存在常数k 1，k 2，k 3，使得：
k 1（α 1+α 2+α 3）+k 2（2α 1-3α 2+22α 3）+k 3（3α 1+5α 2-5α 3）
=（k 1+2k 2+3k 3）α 1+（k 1-3k 2+5k 3）α 2+（k 1+22k 2-5k 3）α 3=0，
由于向量组α 1，α 2，α 3线性无关，则有：
，②
因为齐次线性方程组②的系数行列式为：
|A|=
=
=0，
所以齐次线性方程组②有非零零解，
故向量组α 1+α 2+α 3，2α 1-3α 2+22α 3，3α 1+5α 2-5α 3线性相关，
从而排除D．
故选：C．
因为α 3-α 1=（α 2+α 3）-（α 1+α 2），
故向量组α 1+α 2，α 2+α 3，α 3-α 1线性相关，
从而排除A．
对于选项B：
因为α 1+2α 2+α 3=（α 1+α 2）+（α 2+α 3），
故向量组α 1+α 2，α 2+α 3，α 1+2α 2+α 3线性相关，
从而排除B．
对于选项C：
若存在常数k 1，k 2，k 3，使得：
k 1（α 1+2α 2）+k 2（2α 2+3α 3）+k 3（3α 3+α 1）=（k 1+k 3）α 1+（2k 1+2k 2）α 2+（3k 2+3k 3）α 3=0，
由于向量组α 1，α 2，α 3线性无关，则有：
|
|
|
因为齐次线性方程组①的系数行列式为：
|A|=
|
|
|
|
|
|
|
|
故齐次线性方程组①有唯一零解，
即：k 1=k 2=k 3=0，
故向量组α 1+2α 2，2α 2+3α 3，3α 3+α 1线性无关．
从而选项C正确．
对于选项D：
类似于选项C的分析，
假设存在常数k 1，k 2，k 3，使得：
k 1（α 1+α 2+α 3）+k 2（2α 1-3α 2+22α 3）+k 3（3α 1+5α 2-5α 3）
=（k 1+2k 2+3k 3）α 1+（k 1-3k 2+5k 3）α 2+（k 1+22k 2-5k 3）α 3=0，
由于向量组α 1，α 2，α 3线性无关，则有：
|
|
|
因为齐次线性方程组②的系数行列式为：
|A|=
|
|
|
|
|
|
|
|
所以齐次线性方程组②有非零零解，
故向量组α 1+α 2+α 3，2α 1-3α 2+22α 3，3α 1+5α 2-5α 3线性相关，
从而排除D．
故选：C．
解析
步骤 1：分析选项A
因为α _3-α _1=（α _2+α _3）-（α _1+α _2），
故向量组α _1+α _2，α _2+α _3，α _3-α _1线性相关，
从而排除A．
步骤 2：分析选项B
因为α _1+2α _2+α _3=（α _1+α _2）+（α _2+α _3），
故向量组α _1+α _2，α _2+α _3，α _1+2α _2+α _3线性相关，
从而排除B．
步骤 3：分析选项C
若存在常数k _1，k _2，k _3，使得：
k _1（α _1+2α _2）+k _2（2α _2+3α _3）+k _3（3α _3+α _1）=（k _1+k _3）α _1+（2k _1+2k _2）α _2+（3k _2+3k _3）α _3=0，
由于向量组α _1，α _2，α _3线性无关，则有：
k1+k3＝0
2k1+2k2＝0
3k2+3k3＝0
，①
因为齐次线性方程组①的系数行列式为：
|A|=
.
1
0
1
2
2
0
0
3
3
.
=
.
1
0
1
0
2
−2
0
0
6
.
=12≠0，
故齐次线性方程组①有唯一零解，
即：k _1=k _2=k _3=0，
故向量组α _1+2α _2，2α _2+3α _3，3α _3+α _1线性无关．
从而选项C正确．
步骤 4：分析选项D
类似于选项C的分析，
假设存在常数k _1，k _2，k _3，使得：
k _1（α _1+α _2+α _3）+k _2（2α _1-3α _2+22α _3）+k _3（3α _1+5α _2-5α _3）
=（k _1+2k _2+3k _3）α _1+（k _1-3k _2+5k _3）α _2+（k _1+22k _2-5k _3）α _3=0，
由于向量组α _1，α _2，α _3线性无关，则有：
k1+2k2+3k3＝0
k1−3k2+5k3＝0
k1+22k2−5k3＝0
，②
因为齐次线性方程组②的系数行列式为：
|A|=
.
1
2
3
1
−3
5
1
22
−5
.
=
.
1
2
3
0
−5
2
0
0
0
.
=0，
所以齐次线性方程组②有非零零解，
故向量组α _1+α _2+α _3，2α _1-3α _2+22α _3，3α _1+5α _2-5α _3线性相关，
从而排除D．
因为α _3-α _1=（α _2+α _3）-（α _1+α _2），
故向量组α _1+α _2，α _2+α _3，α _3-α _1线性相关，
从而排除A．
步骤 2：分析选项B
因为α _1+2α _2+α _3=（α _1+α _2）+（α _2+α _3），
故向量组α _1+α _2，α _2+α _3，α _1+2α _2+α _3线性相关，
从而排除B．
步骤 3：分析选项C
若存在常数k _1，k _2，k _3，使得：
k _1（α _1+2α _2）+k _2（2α _2+3α _3）+k _3（3α _3+α _1）=（k _1+k _3）α _1+（2k _1+2k _2）α _2+（3k _2+3k _3）α _3=0，
由于向量组α _1，α _2，α _3线性无关，则有：
k1+k3＝0
2k1+2k2＝0
3k2+3k3＝0
，①
因为齐次线性方程组①的系数行列式为：
|A|=
.
1
0
1
2
2
0
0
3
3
.
=
.
1
0
1
0
2
−2
0
0
6
.
=12≠0，
故齐次线性方程组①有唯一零解，
即：k _1=k _2=k _3=0，
故向量组α _1+2α _2，2α _2+3α _3，3α _3+α _1线性无关．
从而选项C正确．
步骤 4：分析选项D
类似于选项C的分析，
假设存在常数k _1，k _2，k _3，使得：
k _1（α _1+α _2+α _3）+k _2（2α _1-3α _2+22α _3）+k _3（3α _1+5α _2-5α _3）
=（k _1+2k _2+3k _3）α _1+（k _1-3k _2+5k _3）α _2+（k _1+22k _2-5k _3）α _3=0，
由于向量组α _1，α _2，α _3线性无关，则有：
k1+2k2+3k3＝0
k1−3k2+5k3＝0
k1+22k2−5k3＝0
，②
因为齐次线性方程组②的系数行列式为：
|A|=
.
1
2
3
1
−3
5
1
22
−5
.
=
.
1
2
3
0
−5
2
0
0
0
.
=0，
所以齐次线性方程组②有非零零解，
故向量组α _1+α _2+α _3，2α _1-3α _2+22α _3，3α _1+5α _2-5α _3线性相关，
从而排除D．