例2.3.9 用柯西收敛准则证明数列 {a)_(n)} = dfrac {sin 1)(2)+dfrac (sin 2)({2)^2}+... +dfrac (sin n)({2)^n}} 收敛.

考查要点：本题主要考查柯西收敛准则的应用，以及如何通过估计部分和的差来证明数列收敛。

解题核心思路：

1. 柯西收敛准则指出，数列收敛当且仅当对于任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，使得当$m > n > N$时，$|a_m - a_n| < \varepsilon$。
2. 题目中的数列$\{a_n\}$是部分和形式，需通过分析部分和的差$|a_m - a_n|$的绝对值来构造不等式。
3. 利用三角不等式将差的绝对值转化为各项绝对值之和，并结合几何级数求和公式进行放缩，最终找到满足条件的$N$。

破题关键点：

• 放缩技巧：利用$|\sin k| \leq 1$将原式中的$\sin k$项替换为常数项，简化分析。
• 几何级数求和：将放缩后的和转化为几何级数，通过求和公式得到上界，从而控制$|a_m - a_n|$的大小。

步骤1：写出部分和的差
当$m > n$时，
$a_m - a_n = \sum_{k=n+1}^m \frac{\sin k}{2^k}.$

步骤2：应用三角不等式
取绝对值后，
$|a_m - a_n| \leq \sum_{k=n+1}^m \left| \frac{\sin k}{2^k} \right| \leq \sum_{k=n+1}^m \frac{1}{2^k}.$

步骤3：计算几何级数的和
对$\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{2^k}$求和：

• 首项为$\frac{1}{2^{n+1}}$，公比为$\frac{1}{2}$，
• 和为$\frac{1}{2^{n+1}} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^{m - n}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2^{n}} \left(1 - \frac{1}{2^{m - n}}\right)$.

步骤4：估计上界
由于$1 - \frac{1}{2^{m - n}} < 1$，故
$|a_m - a_n| < \frac{1}{2^{n}}.$

步骤5：应用柯西收敛准则
对任意$\varepsilon > 0$，取$N$使得$\frac{1}{2^{N}} < \varepsilon$（例如$N > \log_2 \frac{1}{\varepsilon}$）。当$m > n > N$时，
$|a_m - a_n| < \frac{1}{2^{n}} \leq \frac{1}{2^{N}} < \varepsilon.$
因此，数列$\{a_n\}$满足柯西收敛准则，故收敛。