题目
例1 设随机变量X具有概率密度-|||-0≤x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定常数k
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分应等于1，即 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$。因此，我们有：
${\int }_{0}^{3}kxdx+{\int }_{3}^{4}(2-\dfrac {x}{2})dx=1$
步骤 2：计算积分
计算两个积分，得到：
${\int }_{0}^{3}kxdx=\dfrac {k{x}^{2}}{2}{|}_{0}^{3}=\dfrac {9k}{2}$
${\int }_{3}^{4}(2-\dfrac {x}{2})dx=(2x-\dfrac {{x}^{2}}{4}){|}_{3}^{4}=(8-4)-(6-\dfrac {9}{4})=\dfrac {5}{4}$
步骤 3：求解k
将上述结果代入 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$，得到：
$\dfrac {9k}{2}+\dfrac {5}{4}=1$
解得 $k=\dfrac {1}{6}$
步骤 4：求X的分布函数F(x)
根据概率密度函数，分布函数F(x)为：
$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$
步骤 5：计算分布函数F(x)
根据概率密度函数，分布函数F(x)为：
$F(x)=\left \{ \begin{matrix} 0,\quad x\lt 0,\\ \int \dfrac {\pi }{6}dx,\quad 0\leqslant x\leqslant 35,\\ \int \dfrac {\pi }{6}dx+{\int }_{0}^{2}(2-\dfrac {\pi }{2})dx,\end{matrix} \right.$
$F(x)=\left \{ \begin{matrix} 0,\quad x\leqslant 0,\\ \dfrac {{x}^{2}}{12},\quad 0\leqslant x\leqslant 3.\\ -3+2x-\dfrac {{x}^{2}}{4},\quad 3\leqslant x\leqslant 4.\\ 1.\quad x\leqslant 4.\end{matrix} \right.$
步骤 6：求 $P\{ 1\lt X\leqslant \dfrac {7}{2}\} $
根据分布函数，我们有：
$P\{ 1\lt X\leqslant \dfrac {7}{2}\} =F(\dfrac {7}{2})-F(1)$
步骤 7：计算 $P\{ 1\lt X\leqslant \dfrac {7}{2}\} $
根据分布函数，我们有：
$P\{ 1\lt X\leqslant \dfrac {7}{2}\} =F(\dfrac {7}{2})-F(1)=\dfrac {41}{48}$
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分应等于1，即 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$。因此，我们有：
${\int }_{0}^{3}kxdx+{\int }_{3}^{4}(2-\dfrac {x}{2})dx=1$
步骤 2：计算积分
计算两个积分，得到：
${\int }_{0}^{3}kxdx=\dfrac {k{x}^{2}}{2}{|}_{0}^{3}=\dfrac {9k}{2}$
${\int }_{3}^{4}(2-\dfrac {x}{2})dx=(2x-\dfrac {{x}^{2}}{4}){|}_{3}^{4}=(8-4)-(6-\dfrac {9}{4})=\dfrac {5}{4}$
步骤 3：求解k
将上述结果代入 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$，得到：
$\dfrac {9k}{2}+\dfrac {5}{4}=1$
解得 $k=\dfrac {1}{6}$
步骤 4：求X的分布函数F(x)
根据概率密度函数，分布函数F(x)为：
$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$
步骤 5：计算分布函数F(x)
根据概率密度函数，分布函数F(x)为：
$F(x)=\left \{ \begin{matrix} 0,\quad x\lt 0,\\ \int \dfrac {\pi }{6}dx,\quad 0\leqslant x\leqslant 35,\\ \int \dfrac {\pi }{6}dx+{\int }_{0}^{2}(2-\dfrac {\pi }{2})dx,\end{matrix} \right.$
$F(x)=\left \{ \begin{matrix} 0,\quad x\leqslant 0,\\ \dfrac {{x}^{2}}{12},\quad 0\leqslant x\leqslant 3.\\ -3+2x-\dfrac {{x}^{2}}{4},\quad 3\leqslant x\leqslant 4.\\ 1.\quad x\leqslant 4.\end{matrix} \right.$
步骤 6：求 $P\{ 1\lt X\leqslant \dfrac {7}{2}\} $
根据分布函数，我们有：
$P\{ 1\lt X\leqslant \dfrac {7}{2}\} =F(\dfrac {7}{2})-F(1)$
步骤 7：计算 $P\{ 1\lt X\leqslant \dfrac {7}{2}\} $
根据分布函数，我们有：
$P\{ 1\lt X\leqslant \dfrac {7}{2}\} =F(\dfrac {7}{2})-F(1)=\dfrac {41}{48}$