题目
5.设A为n阶矩阵, ^2=A, 则下列成立的是 () .-|||-(A) A=0 (B) A=E-|||-(C)若A不可逆,则 A=0 (D)若A可逆,则 A=E
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩阵方程的性质
给定矩阵方程 ${A}^{2}=A$ ，可以改写为 $A(A-E)=0$ ，其中 $E$ 是单位矩阵。这意味着矩阵 $A$ 与矩阵 $(A-E)$ 的乘积为零矩阵。
步骤 2：矩阵秩的性质
根据矩阵秩的性质，如果两个矩阵的乘积为零矩阵，那么这两个矩阵的秩之和小于等于矩阵的阶数。即 $r(A) + r(A-E) \leq n$ ，其中 $n$ 是矩阵的阶数。
步骤 3：考虑矩阵A的可逆性
- 如果矩阵 $A$ 可逆，那么 $r(A) = n$ 。根据秩的性质，$r(A-E) = 0$ ，这意味着矩阵 $(A-E)$ 是零矩阵，即 $A-E=0$ ，从而得到 $A=E$ 。
- 如果矩阵 $A$ 不可逆，那么 $r(A) < n$ 。此时，$r(A-E)$ 可以是任意值，但不能确定 $A$ 是否为零矩阵。
给定矩阵方程 ${A}^{2}=A$ ，可以改写为 $A(A-E)=0$ ，其中 $E$ 是单位矩阵。这意味着矩阵 $A$ 与矩阵 $(A-E)$ 的乘积为零矩阵。
步骤 2：矩阵秩的性质
根据矩阵秩的性质，如果两个矩阵的乘积为零矩阵，那么这两个矩阵的秩之和小于等于矩阵的阶数。即 $r(A) + r(A-E) \leq n$ ，其中 $n$ 是矩阵的阶数。
步骤 3：考虑矩阵A的可逆性
- 如果矩阵 $A$ 可逆，那么 $r(A) = n$ 。根据秩的性质，$r(A-E) = 0$ ，这意味着矩阵 $(A-E)$ 是零矩阵，即 $A-E=0$ ，从而得到 $A=E$ 。
- 如果矩阵 $A$ 不可逆，那么 $r(A) < n$ 。此时，$r(A-E)$ 可以是任意值，但不能确定 $A$ 是否为零矩阵。