题目
5.设y (x)是微分方程 ''(x-1)y'+(x)^2y=(e)^x 满足初始条件 (0)=0, '(0)=1 的解,-|||-则 lim _(xarrow 0)dfrac (y(x)-x)({x)^2} () .-|||-(A)等于1 (B)等于2 (C)等于0 (D)不存在
题目解答
答案
解析
步骤 1：代入初始条件
将初始条件 y(0)=0 和 y'(0)=1 代入微分方程 $y''+(x-1)y'+{x}^{2}y={e}^{x}$ 中，得到 $y''(0)+(0-1)y'(0)+{0}^{2}y(0)={e}^{0}$，即 $y''(0)-1=1$，从而得到 $y''(0)=2$。
步骤 2：应用洛必达法则
考虑极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y(x)-x}{{x}^{2}}$，由于分子和分母在 x=0 时都为 0，可以应用洛必达法则。首先，分子的导数为 $y'(x)-1$，分母的导数为 $2x$，因此有 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y(x)-x}{{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y'(x)-1}{2x}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于分子和分母在 x=0 时都为 0，再次应用洛必达法则。分子的导数为 $y''(x)$，分母的导数为 2，因此有 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y'(x)-1}{2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y''(x)}{2}$。根据步骤 1 中得到的 $y''(0)=2$，可以得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y''(x)}{2}=\dfrac {2}{2}=1$。
将初始条件 y(0)=0 和 y'(0)=1 代入微分方程 $y''+(x-1)y'+{x}^{2}y={e}^{x}$ 中，得到 $y''(0)+(0-1)y'(0)+{0}^{2}y(0)={e}^{0}$，即 $y''(0)-1=1$，从而得到 $y''(0)=2$。
步骤 2：应用洛必达法则
考虑极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y(x)-x}{{x}^{2}}$，由于分子和分母在 x=0 时都为 0，可以应用洛必达法则。首先，分子的导数为 $y'(x)-1$，分母的导数为 $2x$，因此有 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y(x)-x}{{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y'(x)-1}{2x}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于分子和分母在 x=0 时都为 0，再次应用洛必达法则。分子的导数为 $y''(x)$，分母的导数为 2，因此有 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y'(x)-1}{2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y''(x)}{2}$。根据步骤 1 中得到的 $y''(0)=2$，可以得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y''(x)}{2}=\dfrac {2}{2}=1$。