16.单选题(4分)设alpha_(1),alpha_(2)和beta_(1),beta_(2),beta_(3)是两个5维向量组，且两个向量组的秩相等，则（）A. 向量组alpha_(1),alpha_(2),beta_(1),beta_(2),beta_(3)线性相关B. 向量组alpha_(1),alpha_(2),beta_(1),beta_(2),beta_(3)线性无关C. 两个向量组的秩都是5D. 两个向量组等价

考查要点：本题主要考查向量组的秩、线性相关性及向量组等价的概念。
解题核心思路：

1. 秩的性质：向量组的秩不超过向量个数，且不超过向量的维数。
2. 合并向量组的秩：若两个向量组的秩相等，合并后的向量组秩最多为原秩之和，但受维数限制。
3. 线性相关性判定：若向量组中向量个数超过维数，则必然线性相关；若向量个数等于维数，需进一步分析秩。

破题关键点：

• 两个向量组秩相等，结合向量个数和维数，推断合并后的向量组秩必然小于5，从而判定线性相关。

已知条件：

• $\alpha_1, \alpha_2$ 是5维向量组，秩为$r$；
• $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是5维向量组，秩也为$r$。

分析过程：

1. 秩的范围：

   • $\alpha$组有2个向量，秩$r \leq 2$；
   • $\beta$组有3个向量，秩$r \leq 3$。
   • 因为两组秩相等，故$r$只能是$1$或$2$。

2. 合并向量组的秩：

   • 合并后的向量组$\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \beta_3$共有5个5维向量。
   • 秩的上限：合并后的秩最多为$r + r = 2r$（若两组线性无关），但$2r \leq 4$（当$r=2$时）。
   • 由于向量个数为5，而秩最多为4，故合并后的向量组必然线性相关。

3. 选项排除：

   • B错误：若线性无关，秩应为5，与上述分析矛盾。
   • C错误：$\alpha$组秩最多为2，不可能为5。
   • D错误：向量组等价要求互相线性表示，但秩相等不保证生成空间相同。