2.[判断题] V=Ain R^ntimes n:|A|=0 按通常的矩阵加法和数乘构成实数域上的向量空间.A. 对B. 错

本题考查向量空间的定义，解题思路是根据向量空间的定义，判断集合$V=\{A\in R^{n\times n}:|A| = 0\}$是否满足向量空间的两个封闭性（加法封闭和数乘封闭）以及其他相关性质。

1. 明确向量空间的定义

设$V$是一个非空集合，$F$是一个数域。如果在$V$中定义了一种运算，叫做加法，即对于$V$中任意两个元素$\alpha,\beta$，在$V$中都有唯一的一个元素$\gamma$与它们对应，称为$\alpha$与$\beta$的和，记为$\gamma=\alpha + \beta$；在$F$与$V$的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法（简称数乘），即对于数域$F$中任一数$k$与$V$中任一元素$\alpha$，在$V$中都有唯一的一个元素$\delta$与它们对应，称为$k$与$\alpha$的数量乘积，记为$\delta = k\alpha$。并且这两种运算满足以下八条运算律：

• 加法交换律：$\alpha+\beta=\beta+\alpha$；
• 加法结合律：$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$；
• 零元素存在：在$V$中有一个元素$0$，对于$V$中任一元素$\alpha$都有$\alpha + 0=\alpha$；
• 负元素存在：对于$V$中每一个元素$\alpha$，都有$V$中的元素$\beta$，使得$\alpha+\beta = 0$；
• 数乘结合律：$k(l\alpha)=(kl)\alpha$；
• 数乘对加法的分配律：$k(\alpha+\beta)=k\alpha + k\beta$；
• 数乘对数量加法的分配律：$(k + l)\alpha=k\alpha + l\alpha$；
• 单位元存在：$1\alpha=\alpha$。

2. 验证集合$V$是否满足向量空间的条件

我们只需验证集合$V$是否满足加法封闭性和数乘封闭性即可。

• 加法封闭性：
  设$A,B\in V$，即$|A| = 0$且$|B| = 0$。
  考虑$A + B$，一般情况下$|A + B|\neq0$。例如，当$n = 2$时，取$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$|A|=1\times0 - 0\times0 = 0$；$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，$|B|=0\times1 - 0\times0 = 0$。
  而$A + B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$|A + B|=1\times1 - 0\times0 = 1\neq0$，这说明$A + B\notin V$，即集合$V$不满足加法封闭性。
• 数乘封闭性：
  设$A\in V$，即$|A| = 0$，对于任意实数$k$，根据行列式的性质$|kA|=k^n|A|$。
  因为$|A| = 0$，所以$|kA|=k^n\times0 = 0$，这说明集合$V$满足数乘封闭性。

由于集合$V$不满足加法封闭性，所以$V=\{A\in R^{n\times n}:|A| = 0\}$按通常的矩阵加法和数乘不构成实数域上的向量空间。