xy' - y = 1 的通解是(）A. y = CxB. x(y + 1)= CC. y + 1 = CxD. x^2 + (y + 1)^2 = C

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，需要掌握标准形式的转化和积分因子法的应用。

解题核心思路：

1. 将原方程整理为一阶线性微分方程的标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$；
2. 计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$；
3. 代入通解公式求解。

破题关键点：

• 正确识别方程类型：通过整理方程，确认其为一阶线性微分方程；
• 准确计算积分因子：注意符号和积分结果的化简；
• 正确应用通解公式：避免积分过程中的计算错误。

将原方程 $xy' - y = 1$ 改写为标准形式：
$y' - \frac{1}{x}y = \frac{1}{x}$
其中 $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = \frac{1}{x}$。

计算积分因子：
$\mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{-\int \frac{1}{x}dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$

代入通解公式：
$y = \mu(x)^{-1} \left[ \int Q(x)\mu(x)dx + C \right]$
计算积分部分：
$\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}dx = \int \frac{1}{x^2}dx = -\frac{1}{x} + C$
代入并化简：
$y = x \left( -\frac{1}{x} + C \right) = -1 + Cx$
整理得通解：
$y + 1 = Cx$

对应选项：C