5. (12.5分) 设Γ是球面 x^2+y^2+z^2=a^2(a>0) 外侧，则曲面积分 iint_(Gamma)(x^2+y^2+z^2)dxdy=A. 0B. 4pi a^2C. pi a^2D. (4pi a^3)/(3)

考查要点：本题主要考查曲面积分的计算，特别是利用高斯公式将曲面积分转化为三重积分的能力，以及利用对称性简化积分计算的技巧。

解题核心思路：

1. 识别积分形式：题目中的积分形式为$\iint_{\Gamma} (x^2 + y^2 + z^2) \, dx dy$，需要将其转化为适合应用高斯公式的向量场点积形式。
2. 构造向量场：通过构造适当的向量场$\mathbf{F}$，使得曲面积分对应$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$中的某一投影分量。
3. 应用高斯公式：将曲面积分转换为体积分，计算向量场的散度。
4. 利用对称性：观察被积函数的奇偶性，结合球体的对称性直接得出积分结果。

破题关键点：

• 选择正确的向量场：将被积函数与$dxdy$对应到向量场的$z$分量。
• 散度计算：通过求散度简化积分形式。
• 对称性判断：利用球体关于坐标轴的对称性，快速得出积分结果为零。

步骤1：构造向量场
将曲面积分$\iint_{\Gamma} (x^2 + y^2 + z^2) \, dx dy$视为向量场$\mathbf{F} = (0, 0, x^2 + y^2 + z^2)$的$z$分量在球面$\Gamma$上的积分。

步骤2：应用高斯公式
根据高斯公式：
$\iint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
计算向量场$\mathbf{F}$的散度：
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(0) + \frac{\partial}{\partial y}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2 + y^2 + z^2) = 2z$
因此，原积分转化为：
$\iint_{\Gamma} (x^2 + y^2 + z^2) \, dx dy = \iiint_{V} 2z \, dV$

步骤3：利用对称性求积分
球体$V: x^2 + y^2 + z^2 \leq a^2$关于$z=0$对称，而被积函数$2z$是关于$z$的奇函数。根据对称性，积分结果为：
$\iiint_{V} 2z \, dV = 0$

结论：原曲面积分的值为$0$，对应选项A。