简答题（10.0分）8.int xsin xdx

要解决积分 $\int x \sin x \, dx$，我们将使用分部积分法。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 我们需要选择 $u$ 和 $dv$。让我们设 $u = x$ 和 $dv = \sin x \, dx$。那么，我们有 $du = dx$ 和 $v = -\cos x$（因为 $\int \sin x \, dx = -\cos x$）。 将这些代入分部积分法的公式中，我们得到： \[ \int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx \] 简化右边，我们有： \[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \] 我们知道 $\int \cos x \, dx = \sin x$，所以我们可以将这个代入： \[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C \] 其中 $C$ 是积分常数。因此，最终答案是： \[ \boxed{-x \cos x + \sin x + C} \]