如图所示,真空中一长为L的均匀带电细直-|||-杆,总电荷为q,试求在直杆延长线上距杆的-|||-一端距离为d的P点的电场强度。-|||-q P-|||-L d

本题考查利用微元法计算连续带电体的电场强度，关键是将带电细直杆分割为无限小电荷元，计算每个电荷元在P点的电场强度后积分求解。

步骤1：建立坐标系与电荷元分割

取细杆一端为原点，沿杆方向为x轴，P点位于x=d处（杆另一端坐标为x=L）。在杆上x处取长度微元$dx$，其电荷量$dq=\lambda dx$（$\lambda=\frac{q}{L}$为电荷线密度）。

步骤2：电荷元的电场强度

每个电荷元在P点的电场强度方向沿x轴（因杆均匀带电，对称性使y方向分量抵消），大小为：
$dE=k\frac{dq}{(d-x)^2}=k\frac{\lambda dx}{(d-x)^2}$
（注：$d-x$为电荷元到P点的距离，$k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$为静电力常量）

步骤3：积分求解总电场强度

积分范围为杆上所有电荷元，即$x$从$0$到$L$：
$E=\int dE=k\lambda\int_0^L\frac{dx}{(d-x)^2}$

积分计算：
令$u=d-x$，$du=-dx$，积分变为：
$\int_0^L\frac{dx}{(d-x)^2}=\int_{u=d}^{u=d-L}\frac{-du}{u^2}=\int_{d-L}^d\frac{du}{u^2}=\left[-\frac{1}{u}\right]_{d-L}^d=\left(-\frac{1}{d}\right)-\left(-\frac{1}{d-L}\right)=\frac{1}{d-L}-\frac{1}{d}$

步骤4：代入线密度$\lambda=\frac{q}{L}$

$E=k\frac{q}{L}\left(\frac{1}{d-L}-\frac{1}{d}\right)=\frac{kq}{L}\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+L}\right)$
（注：原式答案中“$I$”应为“$L$”的笔误，修正后一致）