用洛必达法则求下列极限:-|||-(9) lim _(xarrow +infty )dfrac (ln (1+dfrac {1)(x))}(arctan (x)-|||-(10) lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+{x)^2)}(sec x-cos x)-|||-(11)limxcot2x;-|||-(12) lim _(xarrow 0)(x)^2(e)^1/(x^2);

考查要点：本题主要考查利用洛必达法则求解极限的能力，涉及不同类型的不定型（如$\frac{0}{0}$、$\infty \cdot 0$等），需灵活选择变形方式或等价无穷小替换。

解题核心思路：

1. 识别不定型：先判断极限形式是否为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，再决定是否适用洛必达法则。
2. 化简表达式：对复杂分式或乘积形式，通过变形转化为分式形式，便于应用洛必达法则。
3. 多次求导：若一次求导后仍为不定型，需重复应用法则，直到极限可直接计算。

破题关键点：

• 小题(9)：分子分母趋向于不同极限，需变形为$\frac{0}{\text{常数}}$型。
• 小题(11)：将乘积转化为分式，利用三角函数等价无穷小替换。
• 小题(12)：通过变量代换或等价无穷小分析指数函数与多项式的增长关系。

(9) $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln (1+\dfrac {1}{x})}{\arctan x}$

分析：当$x \to +\infty$时，$\ln(1+\frac{1}{x}) \sim \frac{1}{x}$（等价无穷小），而$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，因此分子趋向于$0$，分母趋向于常数，极限为$0$。

解答：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln (1+\dfrac {1}{x})}{\arctan x} = \dfrac{0}{\frac{\pi}{2}} = 0$

(11) $\lim_{x\rightarrow 0} x \cot 2x$

分析：$\cot 2x = \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}$，当$x \to 0$时，$\sin 2x \sim 2x$，$\cos 2x \sim 1$，因此表达式可化简为$\dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$。

解答：
$\lim_{x\rightarrow 0} x \cot 2x = \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{x \cos 2x}{\sin 2x} = \dfrac{1}{2}$

(10) $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{\sec x-\cos x}$

分析：分子$\ln(1+x^2) \sim x^2$，分母$\sec x - \cos x = \dfrac{1}{\cos x} - \cos x = \dfrac{1 - \cos^2 x}{\cos x} \sim \dfrac{x^2}{1}$，因此极限为$\dfrac{x^2}{x^2} = 1$。

解答：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{\sec x-\cos x} = \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$

(12) $\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}{e}^{1/{x}^{2}}$

分析：当$x \to 0$时，$e^{1/x^2} \to +\infty$，但$x^2 \to 0$，需分析两者的竞争关系。令$t = \dfrac{1}{x^2}$，则$x \to 0$等价于$t \to +\infty$，原式变为$\dfrac{t}{e^t}$，显然$\lim_{t \to +\infty} \dfrac{t}{e^t} = 0$。

解答：
$\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}{e}^{1/{x}^{2}} = \lim_{t \to +\infty} \dfrac{t}{e^t} = 0$