题目

二、填空题（共5题，25.0分）题型说明：29.（填空题，5.0分）设X为连续随机变量，c为一个常数，则P(X=c)=_____.

二、填空题（共5题，25.0分） 题型说明： 29.（填空题，5.0分） 设X为连续随机变量，c为一个常数， 则P{X=c}=_____.

题目解答

答案

连续型随机变量 $X$ 的取值范围为一个区间，其概率由概率密度函数描述。对于任意常数 $c$，区间 $[c, c]$ 的长度为零，积分 $\int_c^c f(x) \, dx = 0$。或者，从累积分布函数（cdf）的角度看，连续型随机变量的 cdf 在任何点处连续，故 $P(X = c) = F(c) - F(c^-) = 0$。因此，答案为 $\boxed{0}$。

解析

连续型随机变量的概率分布特点在于其概率由概率密度函数描述，而非离散型的点概率。由于连续型随机变量取值为某一具体值的概率“占据”的区间长度为零，因此积分结果必然为零。此外，从累积分布函数（CDF）的连续性角度也能直接推导出该结论。

关键思路

  1. 概率密度函数的积分性质：连续型随机变量在区间$[a, b]$的概率为$\int_a^b f(x) \, dx$。当$a = b = c$时，积分区间长度为零，结果为$0$。
  2. 累积分布函数的连续性：连续型随机变量的CDF在任意点$c$处连续，故$P(X = c) = F(c) - F(c^-) = 0$。