已知 y=f(2x) '(x)=arctan (x)^2, 计算 dfrac (dy)(dx)(|)_(x=dfrac {1)(2)}

考查要点：本题主要考查复合函数的导数计算，需要运用链式法则，并正确代入给定的导数表达式。

解题核心思路：

1. 识别复合函数结构：函数$y = f(2x)$中，外层函数是$f(u)$，内层函数是$u = 2x$。
2. 应用链式法则：导数$\dfrac{dy}{dx} = f'(u) \cdot \dfrac{du}{dx}$，其中$f'(u)$由题目给出的$f'(x) = \arctan(x^2)$替换变量得到。
3. 代入具体值：将$x = \dfrac{1}{2}$代入导数表达式，计算最终结果。

破题关键点：

• 正确替换变量：将$f'(2x)$中的变量替换为$2x$，即$f'(2x) = \arctan((2x)^2)$。
• 注意运算顺序：先计算$4x^2$，再代入$\arctan$函数。

1. 应用链式法则
   设$u = 2x$，则$y = f(u)$。根据链式法则：
   $\dfrac{dy}{dx} = f'(u) \cdot \dfrac{du}{dx} = f'(2x) \cdot 2$

2. 代入$f'(x)$的表达式
   题目给出$f'(x) = \arctan(x^2)$，因此：
   $f'(2x) = \arctan((2x)^2) = \arctan(4x^2)$

3. 组合导数表达式
   将$f'(2x)$代入链式法则的结果：
   $\dfrac{dy}{dx} = 2 \cdot \arctan(4x^2)$

4. 代入$x = \dfrac{1}{2}$
   计算$4x^2$：
   $4 \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = 4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1$
   因此：
   $\dfrac{dy}{dx} \Bigg|_{x = \dfrac{1}{2}} = 2 \cdot \arctan(1) = 2 \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$