题目
4.已知事件A与B相互独立，且P(overline(AB))=(1)/(9)，P(overline(AB))=P(overline(AB))，求P(A)，P(B).
4.已知事件A与B相互独立，且$P(\overline{AB})=\frac{1}{9}$，$P(\overline{AB})=P(\overline{AB})$，求P(A)，P(B).
题目解答
答案
由题意，事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且满足：
1. $P(\overline{AB}) = \frac{1}{9}$
2. $P(A\overline{B}) = P(\overline{A}B)$
利用独立性，有：
\[
P(\overline{AB}) = P(\overline{A})P(\overline{B}) = \frac{1}{9}
\]
\[
P(A\overline{B}) = P(A)P(\overline{B}) = P(\overline{A})P(B) = P(\overline{A}B)
\]
设 $P(A) = p$，$P(B) = q$，则：
\[
(1-p)(1-q) = \frac{1}{9}
\]
\[
p(1-q) = (1-p)q \implies p = q
\]
代入第一个方程：
\[
(1-p)^2 = \frac{1}{9} \implies 1-p = \frac{1}{3} \implies p = \frac{2}{3}
\]
因此，$P(A) = P(B) = \frac{2}{3}$。
**答案：** $\boxed{P(A) = \frac{2}{3}, P(B) = \frac{2}{3}}$