题目

填空题（共7题，20.0分）34.（2.9分）已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1,2,0,1，如果第三列元素的余子式依次为5,3,-7,4，则D=____.

填空题（共7题，20.0分） 34.（2.9分） 已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1,2,0,1，如果第三列元素的余子式依次为5,3,-7,4，则D=____.

题目解答

答案

按第三列展开行列式 $ D $，元素与对应代数余子式乘积和为： \[ D = a_{13}A_{13} + a_{23}A_{23} + a_{33}A_{33} + a_{43}A_{43} \] 其中，$ A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} $，余子式 $ M_{ij} $ 已知。 代入已知值： \[ A_{13} = 5, \quad A_{23} = -3, \quad A_{33} = -7, \quad A_{43} = -4 \] \[ D = (-1) \times 5 + 2 \times (-3) + 0 \times (-7) + 1 \times (-4) = -5 - 6 - 4 = -15 \] **答案：** $\boxed{-15}$

解析

本题考查行列式按列展开定理的应用。关键在于理解代数余子式与余子式的关系，并正确计算各元素与对应代数余子式的乘积之和。

核心思路：

  1. 行列式按列展开时，行列式的值等于某列元素与其对应代数余子式的乘积之和。
  2. 代数余子式的计算公式为 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式。
  3. 题目中给出的“余子式”实际是代数余子式的值，需直接代入计算。

步骤1：确定代数余子式

根据公式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，结合题目中给出的余子式 $M_{ij}$，计算各代数余子式：

  • $A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot 5 = 5$
  • $A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot 3 = -3$
  • $A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot (-7) = -7$
  • $A_{43} = (-1)^{4+3} \cdot 4 = -4$

步骤2：按第三列展开行列式

行列式 $D$ 的展开式为：
$D = a_{13}A_{13} + a_{23}A_{23} + a_{33}A_{33} + a_{43}A_{43}$
代入已知元素和代数余子式：
$D = (-1) \cdot 5 + 2 \cdot (-3) + 0 \cdot (-7) + 1 \cdot (-4)$

步骤3：计算最终结果

逐项计算并求和：
$D = -5 - 6 + 0 - 4 = -15$