(13)用3台机床加工同样的零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94，0.9，0.95，求：①任取一个零件，其为合格品的概率；②任取一个零件，若是次品，其为第二台机床加工的概率.

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题思路：

1. 第①问：要求计算任取零件为合格品的概率。由于零件可能由不同机床加工，需分别计算各机床加工合格品的概率，再按机床分配的概率加权求和，即全概率公式。
2. 第②问：已知零件为次品，求其由第二台机床加工的概率。需先计算次品的总概率，再利用贝叶斯定理计算条件概率。

破题关键：

• 明确各机床的加工概率与合格概率，正确对应相乘。
• 区分合格品与次品的概率关系，次品概率为合格概率的补集。

第①问：任取零件为合格品的概率

应用全概率公式

设事件：

• $A_i$：零件由第$i$台机床加工（$i=1,2,3$对应三台机床）
• $B$：零件为合格品

根据全概率公式：
$P(B) = \sum_{i=1}^{3} P(A_i) \cdot P(B|A_i)$

代入数据：

• $P(A_1)=0.5$，$P(B|A_1)=0.94$
• $P(A_2)=0.3$，$P(B|A_2)=0.9$
• $P(A_3)=0.2$，$P(B|A_3)=0.95$

计算：
$P(B) = 0.5 \times 0.94 + 0.3 \times 0.9 + 0.2 \times 0.95 = 0.47 + 0.27 + 0.19 = 0.93$

第②问：次品为第二台机床加工的概率

计算次品总概率

$P(\text{次品}) = 1 - P(B) = 1 - 0.93 = 0.07$

应用贝叶斯定理

设事件：

• $C$：零件为次品
• 求$P(A_2|C)$

根据贝叶斯定理：
$P(A_2|C) = \frac{P(A_2) \cdot P(C|A_2)}{P(C)}$

其中：

• $P(A_2)=0.3$
• $P(C|A_2) = 1 - P(B|A_2) = 1 - 0.9 = 0.1$
• $P(C)=0.07$

代入计算：
$P(A_2|C) = \frac{0.3 \times 0.1}{0.07} = \frac{0.03}{0.07} = \frac{3}{7}$