某种产品每箱 48 个。小李制作这种产品,第 1 天制作了 1 个,以后每天都比前一天多制作 1 个。X 天后总共制作了整数箱产品。问 X 的最小值在以下哪个范围内?A. 在 41~60 之间B. 超过 60C. 不到 20D. 在 20~40 之间

考查要点：本题主要考查等差数列求和公式及整除性质的应用，需要结合数的整除性分析最小值。

解题核心思路：

1. 等差数列求和：小李每天制作的数量构成首项为1、公差为1的等差数列，总制作量为前X项和，即$S_X = \frac{X(X+1)}{2}$。
2. 整除条件：总数量需为48的整数倍，即$\frac{X(X+1)}{2}$是48的倍数，等价于$X(X+1)$是96的倍数。
3. 质因数分解：96的质因数为$2^5 \times 3$，需分析$X$和$X+1$如何分配这些因子。

破题关键点：

• 连续整数互质：$X$和$X+1$互质，需分别包含$2^5$和3的因子，或反之。
• 最小值分析：通过枚举或代数推导，找到满足条件的最小$X$。

步骤1：建立等差数列求和公式
总制作量为：
$S_X = \frac{X(X+1)}{2}$
需满足$S_X$是48的倍数，即：
$\frac{X(X+1)}{2} = 48k \quad (k \text{为正整数})$
等价于：
$X(X+1) = 96k$

步骤2：分析质因数分解
96的质因数为$2^5 \times 3$，因此$X$和$X+1$需满足：

• 至少包含$2^5$和3的因子，且因$X$与$X+1$互质，需分别分配这些因子。

步骤3：寻找最小X

• 情况1：若$X$是32的倍数（含$2^5$），则$X+1$需是3的倍数。
  • 设$X=32m$，则$32m+1 \equiv 0 \pmod{3}$，解得$m \equiv 1 \pmod{3}$，最小$m=1$，此时$X=32$。
• 情况2：若$X+1$是32的倍数，则$X$需是3的倍数。
  • 设$X+1=32m$，则$32m-1 \equiv 0 \pmod{3}$，解得$m \equiv 2 \pmod{3}$，最小$m=2$，此时$X=63$。
• 比较：最小解为$X=32$，属于选项D（20~40之间）。