题目
实二次型forall (x)_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n))=(x)^TAx Ax为正定二次型的充要条件是()(a)负惯性指数为零;(b)正惯性指数为零；(c)对任意向量forall (x)_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n))=(x)^TAx Ax，有forall (x)_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n))=(x)^TAx Ax；(d)forall (x)_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n))=(x)^TAx Ax的所有特征值全为正数。
实二次型
为正定二次型的充要条件是()
(a)负惯性指数为零;
(b)正惯性指数为零；
(c)对任意向量
，有
；
(d)
的所有特征值全为正数。
题目解答
答案
实二次型为正定二次型，则矩阵是正定矩阵，由正定矩阵的定义可得对任意向量，有
0" data-width="87" data-height="23" data-size="1444" data-format="png" style="max-width:100%">，二次型
经过非退化线性替换变成标准型
，非退化线性替换保持正定性不变（由于线性替换是可逆的），于是
0" data-width="54" data-height="22" data-size="931" data-format="png" style="max-width:100%">，即正惯性指数为
，于是负惯性指数为0，由于标准型的矩阵是对角矩阵，且对角线上的元素为正数，对角矩阵的特征值是对角线上的所有元素。而矩阵与该矩阵相似，相似矩阵有相同的特征值，故的所有特征值全为正数。
综上ad正确
解析
步骤 1：定义正定二次型
实二次型$({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})={x}^{T}Ax$为正定二次型，意味着矩阵$A$是正定矩阵。正定矩阵的定义是：对于任意非零向量$x$，有${x}^{T}Ax>0$。
步骤 2：正定矩阵的性质
正定矩阵的性质包括：正惯性指数为$n$（即矩阵$A$的特征值全为正数），负惯性指数为$0$（即矩阵$A$没有负特征值），且对于任意非零向量$x$，有${x}^{T}Ax>0$。
步骤 3：判断选项
(a)负惯性指数为零：正定矩阵的负惯性指数为$0$，因此该选项正确。
(b)正惯性指数为零：正定矩阵的正惯性指数为$n$，因此该选项错误。
(c)对任意向量$={({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})}^{T}\neq 0$，有${c}^{T}Ax\geqslant 0$：正定矩阵的定义是${x}^{T}Ax>0$，而不是${x}^{T}Ax\geqslant 0$，因此该选项错误。
(d)的所有特征值全为正数：正定矩阵的特征值全为正数，因此该选项正确。
实二次型$({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})={x}^{T}Ax$为正定二次型，意味着矩阵$A$是正定矩阵。正定矩阵的定义是：对于任意非零向量$x$，有${x}^{T}Ax>0$。
步骤 2：正定矩阵的性质
正定矩阵的性质包括：正惯性指数为$n$（即矩阵$A$的特征值全为正数），负惯性指数为$0$（即矩阵$A$没有负特征值），且对于任意非零向量$x$，有${x}^{T}Ax>0$。
步骤 3：判断选项
(a)负惯性指数为零：正定矩阵的负惯性指数为$0$，因此该选项正确。
(b)正惯性指数为零：正定矩阵的正惯性指数为$n$，因此该选项错误。
(c)对任意向量$={({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})}^{T}\neq 0$，有${c}^{T}Ax\geqslant 0$：正定矩阵的定义是${x}^{T}Ax>0$，而不是${x}^{T}Ax\geqslant 0$，因此该选项错误。
(d)的所有特征值全为正数：正定矩阵的特征值全为正数，因此该选项正确。