22.求方程组}x_{1)+x_(2)-2x_(3)=52x_(1)+x_(2)-x_(3)+x_(4)=7x_(1)+2x_(2)-5x_(3)-x_(4)=8.的通解.

考查要点：本题主要考查线性方程组的通解求解，涉及增广矩阵的行变换化简、自由变量的确定以及通解的向量表达形式。

解题核心思路：

1. 将增广矩阵化为行最简形，确定方程组的主元和自由变量。
2. 用自由变量表示其他变量，写出通解的参数形式。
3. 转化为向量形式，明确特解和齐次解的基础解系。

破题关键点：

• 正确进行行变换，确保矩阵化简无误。
• 识别自由变量（对应行最简形中无主元的列）。
• 合理设定参数，将解表示为自由变量的线性组合。

将方程组的增广矩阵进行行变换：

原增广矩阵：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 0 & 5 \\2 & 1 & -1 & 1 & 7 \\1 & 2 & -5 & -1 & 8\end{pmatrix}$

行变换过程：

1. 消去第二行、第三行的第一个元素：

   • 第二行减去 $2 \times$ 第一行：
     $(0, -1, 3, 1, -3)$
   • 第三行减去 $1 \times$ 第一行：
     $(0, 1, -3, -1, 3)$

2. 第二行乘以 $-1$，得到：
   $(0, 1, -3, -1, 3)$

3. 消去第三行：
   第三行减去第二行后全为 $0$，得到第三行为 $0$ 行。

4. 化简第一行：
   第一行减去第二行，得到：
   $(1, 0, 1, 1, 2)$

最终行最简形矩阵：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 1 & -3 & -1 & 3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

方程组对应关系：
$\begin{cases}x_1 + x_3 + x_4 = 2 \\x_2 - 3x_3 - x_4 = 3\end{cases}$

确定自由变量：
$x_3$ 和 $x_4$ 无主元，设为自由变量，令 $x_3 = c_1$，$x_4 = c_2$。

通解表达式：
$\begin{cases}x_1 = 2 - c_1 - c_2 \\x_2 = 3 + 3c_1 + c_2 \\x_3 = c_1 \\x_4 = c_2\end{cases}$

向量形式：
特解 $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 加上齐次解的基础解系：
$c_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$